нужно подробное решение задания 

5. Выяснить, будут ли следующие формулы равносильны:

• а) ¬(X ∨ Y) ↔ ¬X,
• б) ¬(X → Y) ↔ ¬(X) ∨ Y,
• в) X → (Y → Z) и (X ∧ Y) → Z,
• г) X → (Y ∧ Z) и (Z → Y) ↔ Y,
• д) ¬(¬Y) и ¬(Y) ↔ Y,
• е) Доказать равносильность формул:
• а) (X ∧ ¬Y) & (¬Z) и X → Z,
• б) ¬(X ∨ ¬Y) & (¬(X) и ¬(Y),
• в) ¬(X) и (¬(Y) ↔ ¬(Z) ↔ Y),
• г) (¬(X) ∨ (¬Y & Z)) ∨ (Y & Z) и (¬X ∨ ¬(Y & Z)),
• д) [¬(X ∨ Y) ↔ Z] и [¬(X) ∧ (Y ∧ Z)] и [¬(X & Y ∨ Z)] и (X & ¬Z),
• е) ¬(Y ∧ Z) ∨ (Y & Z) и (¬X ∨ (Y ∨ Z)) и (X & ¬(Y ∧ Z)),
• ж) [¬(¬X & ¬Y) ∧ Z] и ¬(X ∨ Y) и (¬(X & Z) ∨ (Y & Z)).

7. Доказать, что формула G является логическим следствием формул F₁, ..., F_n:

• а) F₁ = ¬X ∨ Y ∨ Z, F₂ = Z → W, F₃ = ¬W, G = X → Y;
• б) F₁ = X ∨ Y ∧ Z, F₂ = Y → Z ∨ Z₁, F₃ = ¬Z₁, F₄ = ¬Z₁, G = X → Z;
• г) F₁ = Z → Z₁, F₂ = Z₁ → Y, F₃ = X → Y ∨ Z, G = X → Y.

8. Доказать, что формула G не является логическим следствием формул F₁, F₂, ..., F_n:

• а) F₁ = ¬X ∨ Y ∨ Z, F₂ = Z → X → W;
• б) F₁ = Z ∨ Y ∨ Z₁, G = X ∨ Z₁;
• в) G = Z₁ → X, F₁ = Y ∨ X₁, F₂ = Y → X₁, F₃ = Y → X ∨ Y₁, F₄ = ¬Y₁.

9. Логичны ли рассуждения из задачи 2.1, 2.2, 2.3?

Алгебра Колледж Логическая алгебра формулы Ф1 Ф2 Ф3 равносильные выражения учебные материалы по алгебре колледж алгебра Новый

Чтобы выяснить, будут ли данные формулы равносильны, необходимо проверить их логическую эквивалентность. Давайте разберём несколько пунктов из задания 5:

Пункт а)

Формулы:

• ( X \rightarrow Y \rightarrow \neg X )
• ( \neg X )

Решение:

1. Анализ первой формулы:

   • ( X \rightarrow Y \rightarrow \neg X ) можно переписать как ( X \rightarrow (Y \rightarrow \neg X) ).
   • Это эквивалентно ( X \rightarrow (\neg Y \lor \neg X) ) по определению импликации.
   • Далее, это эквивалентно ( (\neg X \lor \neg Y \lor \neg X) ).
   • Упростим: ( \neg X \lor \neg Y ).

2. Анализ второй формулы:

   • Формула ( \neg X ) остаётся как есть.

3. Сравнение:

   • Первая формула эквивалентна ( \neg X \lor \neg Y ).
   • Вторая формула — просто ( \neg X ).
   • Они не эквивалентны, так как вторая формула строже первой.

Пункт б)

Формулы:

• ( X \rightarrow \neg Y \rightarrow Y \rightarrow X )
• ( X )

Решение:

1. Анализ первой формулы:

   • ( X \rightarrow (\neg Y \rightarrow (Y \rightarrow X)) ).
   • Это эквивалентно ( X \rightarrow (\neg Y \rightarrow (\neg Y \lor X)) ).
   • Упростим: ( X \rightarrow (Y \lor X) ).
   • Это эквивалентно ( \neg X \lor Y \lor X ).
   • Упростим до ( Y \lor \neg X \lor X ).
   • Упростится до ( Y \lor \text{Истина} ), что равно Истине.

2. Анализ второй формулы:

   • Формула ( X ) остаётся как есть.

3. Сравнение:

   • Первая формула всегда истинна, вторая истинна только при ( X = \text{Истина} ).
   • Они не эквивалентны.

Таким образом, для проверки эквивалентности формул необходимо приводить их к упрощённому виду и сравнивать полученные выражения. Если они совпадают в каждой возможной интерпретации переменных, то формулы равносильны.