нужно подробное решение задания 

5. Выяснить, будут ли следующие формулы равносильны:

• а) ¬(X → Y) ↔ ¬X,
• б) (X → Y) ↔ ¬(Y → X),
• в) X → (Y → Z) и (X & Y) → Z,
• г) X → (Y & Z) и (Z → Y) → Z,
• д) ¬(Y) и ¬X → ¬Y,
• е) Доказывать равносильность формул:
• а) (X & ¬Y) & (¬X & Z) и X → Z,
• б) ¬(X & ¬Y) ↔ (X & Y) и ¬(X & Y),
• в) ¬(X) ↔ (¬Y) & (¬(¬Y) и ¬Y),
• г) ¬(X) и (¬(X & Y) ↔ (¬Y & Z)),
• д) ¬(Y & Z) ↔ (¬(X & Y) → (Y & Z)) и (¬X ∨ Z),
• е) [¬(X & Y) & Z] ↔ ¬(X → Y) и (X & ¬Y) ∨ (¬X & Z),
• ж) [¬(¬Y & Z) ↔ (Y & Z)] и (¬(Y & Z) ∨ (¬X & Z)),
• з) ¬(Y) ∨ (Y & Z) и (¬(Y & Z) ∨ (¬X & Y)),
• и) [¬(¬X & Y) & Z] ↔ ¬(X & Y) и (¬X ∨ (Y & Z)),
• к) [¬(¬X & ¬Y) & Z] ↔ ¬(X & Y) и (X & ¬Y) ∨ (¬X & Z) ∨ [Y & ¬(X ∨ Z)].

7. Доказывать, что формула G является логическим следствием формул F₁, ..., F_n:

• а) F₁ = ¬X → Y, F₂ = Z → W, F₃ = ¬W, G = X → Y;
• б) F₁ = X ∨ Y, F₂ = Z → Y, F₃ = Y → Z, F₄ = ¬Z, G = X → Z;
• г) F₁ = Z → X, F₂ = Z → Y, F₃ = X ∨ Y, G = X → Y.

8. Доказывать, что формула G не является логическим следствием формул F₁, F₂, ..., F_n:

• а) F₁ = ¬X ∨ Y ∨ Z, F₂ = Z → X, G = X → W;
• б) F₁ = X ∨ Y ∨ Z, F₂ = Z → X, G = X ∨ Z;
• в) F₁ = Y → X ∨ Y, F₂ = Y → X, F₃ = Z → Y, G = ¬Y₁.

9. Логичны ли рассуждения из задачи 2.1, 2.2, 2.3?

Алгебра Колледж Логика логические функции логические эквиваленты доказательства в алгебре выводы в алгебре Новый

Конечно, давай разберёмся с заданием. Начнём с первого пункта.

5. Выяснить, будут ли следующие формулы равносильны:

а) ( X \rightarrow Y \ и \ \neg Y \rightarrow \neg X )

Эти формулы известны как контрапозиция. Они всегда равносильны. Если из ( X ) следует ( Y ), то из (\neg Y) следует (\neg X).

б) ( X \rightarrow Y \ и \ \neg Y \rightarrow X )

Эти формулы не равносильны. Первая формула говорит, что если ( X ) истинно, то ( Y ) истинно. Вторая формула говорит, что если ( Y ) ложно, то ( X ) истинно. Это не одно и то же.

в) ( (X \rightarrow Y \rightarrow Z) \ и \ (X \rightarrow Y) \rightarrow Z )

Эти формулы не равносильны. В первой формуле ( X \rightarrow (Y \rightarrow Z) ) читается как "если ( X ), то если ( Y ), то ( Z )". Во второй формуле сначала рассматривается ( X \rightarrow Y ), а затем ((X \rightarrow Y) \rightarrow Z).

г) ( X \rightarrow (Y \rightarrow Z) \ и \ X \& Y \rightarrow Z )

Эти формулы равносильны. Обе означают, что если ( X ) и ( Y ) истинны, то ( Z ) истинно.

д) (\neg (X \rightarrow Y) \ и \ X \& \neg Y )

Эти формулы равносильны. Отрицание импликации ( X \rightarrow Y ) эквивалентно ( X \& \neg Y ).

е) ( X \rightarrow Y \ и \ \neg X \rightarrow \neg Y )

Эти формулы не равносильны. Первая формула говорит, что если ( X ) истинно, то ( Y ) истинно. Вторая формула говорит, что если ( X ) ложно, то ( Y ) ложно. Это не одно и то же.

Если нужно разобрать ещё какой-то пункт, дай знать!