2025-11-02 07:31:41
3. Найдите значение определенного интеграла:
- a) ∫04 (1/√(9+4x)) dx
- б) ∫0π/6 cos(3x) dx
Алгебра Колледж Определенные интегралы определенный интеграл интеграл от 0 до 4 интеграл от 0 до π/6 интегрирование алгебра 12 класс
2025-11-02 07:31:54
Давайте решим оба интеграла по очереди.
a) ∫04 (1/√(9+4x)) dx
Для начала, упростим интеграл. Мы можем использовать замену переменной. Положим:
- u = 9 + 4x
- Тогда du/dx = 4, следовательно, dx = du/4.
Теперь изменим пределы интегрирования:
- Когда x = 0, u = 9 + 4*0 = 9.
- Когда x = 4, u = 9 + 4*4 = 25.
Теперь подставим это в интеграл:
∫925 (1/√u) * (1/4) du = (1/4) ∫925 u^(-1/2) du.
Теперь вычислим интеграл:
(1/4) * [2u^(1/2)]925 = (1/4) * 2 * (√25 - √9) = (1/2) * (5 - 3) = (1/2) * 2 = 1.
Ответ к пункту a: 1.
б) ∫0π/6 cos(3x) dx
Для этого интеграла мы можем использовать стандартную формулу интегрирования косинуса:
∫ cos(kx) dx = (1/k) * sin(kx) + C.
В нашем случае k = 3, поэтому:
∫ cos(3x) dx = (1/3) * sin(3x) + C.
Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до π/6:
(1/3) * [sin(3*(π/6)) - sin(3*0)] = (1/3) * [sin(π/2) - sin(0)] = (1/3) * [1 - 0] = 1/3.
Ответ к пункту б: 1/3.
Таким образом, итоговые ответы:
- a) 1
- б) 1/3