Чтобы вычислить интеграл ∫[5, 7] f⁻¹(x) dx, мы воспользуемся свойством, которое связывает интегралы функции и её обратной функции. Это свойство гласит, что:

∫[a, b] f⁻¹(x) dx = b * f⁻¹(b) - a * f⁻¹(a) - ∫[f⁻¹(a), f⁻¹(b)] f(x) dx

Где a = 5 и b = 7. Теперь нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем значения f⁻¹(5) и f⁻¹(7):
• Сначала найдем f(к), где k = f⁻¹(5). То есть, нам нужно решить уравнение f(k) = 5:
• f(k) = k⁵ + k + 5 = 5
• k⁵ + k = 0
• k(k⁴ + 1) = 0
• Таким образом, k = 0 (поскольку k⁴ + 1 > 0 для всех k).
• Следовательно, f⁻¹(5) = 0.
• Теперь найдем f⁻¹(7). Нам нужно решить уравнение f(k) = 7:
• f(k) = k⁵ + k + 5 = 7
• k⁵ + k - 2 = 0.
• Это уравнение не имеет простых корней, но мы можем использовать численные методы или графический метод для нахождения корня. Приблизительно, k ≈ 1.
• Таким образом, f⁻¹(7) ≈ 1.
2. Теперь подставим найденные значения в формулу:
• ∫[5, 7] f⁻¹(x) dx = 7 * f⁻¹(7) - 5 * f⁻¹(5) - ∫[f⁻¹(5), f⁻¹(7)] f(x) dx
• ∫[5, 7] f⁻¹(x) dx = 7 * 1 - 5 * 0 - ∫[0, 1] f(x) dx
• ∫[5, 7] f⁻¹(x) dx = 7 - ∫[0, 1] f(x) dx.
• Теперь нам нужно вычислить интеграл ∫[0, 1] f(x) dx.
3. Вычислим интеграл ∫[0, 1] f(x) dx:
• ∫[0, 1] (x⁵ + x + 5) dx = ∫[0, 1] x⁵ dx + ∫[0, 1] x dx + ∫[0, 1] 5 dx.
• Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности:
• ∫[0, 1] x⁵ dx = [x⁶/6] от 0 до 1 = 1/6.
• ∫[0, 1] x dx = [x²/2] от 0 до 1 = 1/2.
• ∫[0, 1] 5 dx = [5x] от 0 до 1 = 5.
• Теперь сложим результаты:
• ∫[0, 1] f(x) dx = 1/6 + 1/2 + 5 = 1/6 + 3/6 + 30/6 = 34/6 = 17/3.
4. Теперь подставим это значение обратно в интеграл:
• ∫[5, 7] f⁻¹(x) dx = 7 - 17/3 = 21/3 - 17/3 = 4/3.

Ответ: ∫[5, 7] f⁻¹(x) dx = 4/3.