Дана точка A на прямой y=4, и эта точка лежит на канонической параболе. Расстояние от касательной к параболе в точке A находится на расстоянии корень из 8 от фокуса параболы. 1) Какое уравнение имеет парабола? 2) Если окружность с центром на оси X касается параболы в точке A, то какое уравнение имеет эта окружность?

Алгебра Колледж Параболы и их свойства парабола уравнение параболы касательная параболы фокус параболы окружность уравнение окружности алгебра геометрия точка A расстояние от фокуса каноническая парабола Новый

Давайте разберем задачу по шагам.

1) Найдем уравнение параболы.

Парабола в канонической форме может быть представлена как y = ax^2 + bx + c. Однако, так как точка A находится на прямой y = 4, мы можем предположить, что парабола открыта вверх или вниз и имеет вершину на оси y.

Рассмотрим стандартную форму параболы, которая открыта вверх: y = k(x - h)^2 + m, где (h, m) – вершина параболы.

Так как точка A лежит на прямой y = 4, мы можем взять m = 4. Теперь у нас есть уравнение:

y = k(x - h)^2 + 4.

Теперь нам нужно определить расстояние от фокуса параболы до точки A. Фокус параболы, заданной уравнением y = k(x - h)^2 + m, находится на расстоянии 1/(4k) от вершины.

Расстояние от фокуса до прямой y = 4 равно корень из 8. Это означает, что:

1/(4k) = |4 - m| = |4 - 4| = 0 (так как m = 4, фокус находится на оси y, и мы не можем использовать это уравнение).

Однако, если мы рассматриваем фокус и расстояние от него:

1/(4k) = sqrt(8) => 4k = 1/sqrt(8) => k = 1/(4sqrt(8)) = 1/(8sqrt(2)).

Теперь у нас есть k, и мы можем записать уравнение параболы:

y = (1/(8sqrt(2)))(x - h)^2 + 4.

Так как h нам не известен, мы можем оставить его как переменную.

2) Теперь найдем уравнение окружности.

Окружность с центром на оси X будет иметь уравнение вида:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) – центр окружности, а r – радиус.

Поскольку центр окружности находится на оси X, то b = 4 (так как окружность касается параболы в точке A, которая находится на y = 4).

Теперь, чтобы окружность касалась параболы в точке A, радиус окружности должен быть равен расстоянию от центра окружности до точки A. Поскольку точка A имеет координаты (x_A, 4), радиус окружности будет равен |y_A - b| = |4 - 4| = 0.

Таким образом, радиус окружности будет равен расстоянию от центра окружности до точки A на оси X, что мы можем обозначить как r = |x_A - a|.

Итак, уравнение окружности будет:

(x - a)^2 + (y - 4)^2 = (x_A - a)^2.

Подводя итог, у нас есть:

• Уравнение параболы: y = (1/(8sqrt(2)))(x - h)^2 + 4, где h – произвольная константа.
• Уравнение окружности: (x - a)^2 + (y - 4)^2 = (x_A - a)^2, где a – координата центра окружности на оси X.