Даны многочлены:

1. x⁴ + 3y⁴ + x²y² + 8
2. 3a⁴ + 4
3. x⁸ + x⁶ + x⁴ + x²
4. a⁶ + b⁶ + 18
5. x²y² + xy + 1
6. a⁴ + 4b²

Какие из этих многочленов всегда принимают положительные значения для любых значений переменных?

Алгебра Колледж Неравенства и анализ многочленов многочлены положительные значения алгебра переменные анализ многочленов Новый

Чтобы определить, какие из данных многочленов всегда принимают положительные значения для любых значений переменных, мы можем проанализировать каждый многочлен по отдельности. Мы будем искать такие многочлены, которые не могут принимать отрицательные значения при любых значениях переменных. Рассмотрим каждый из них.

• 1. x⁴ + 3y⁴ + x²y² + 8

  Каждый из членов x⁴, 3y⁴ и x²y² является неотрицательным (так как квадрат любого числа неотрицателен). Поскольку 8 - это положительное число, сумма всех этих членов также будет положительной. Значит, этот многочлен всегда положителен.

• 2. 3a⁴ + 4

  Здесь 3a⁴ является неотрицательным, и добавляя 4, мы получаем положительное значение. Следовательно, этот многочлен также всегда положителен.

• 3. x⁸ + x⁶ + x⁴ + x²

  Все члены этого многочлена также являются неотрицательными, так как они все являются четными степенями x. Следовательно, сумма будет неотрицательной, но так как x² = 0 только при x = 0, при других значениях x этот многочлен будет положительным. Таким образом, данный многочлен всегда положителен.

• 4. a⁶ + b⁶ + 18

  Каждый из членов a⁶ и b⁶ неотрицателен, а 18 - это положительное число. Сумма этих членов всегда будет положительной, поэтому данный многочлен также всегда положителен.

• 5. x²y² + xy + 1

  Здесь x²y² и xy также неотрицательны, а 1 - это положительное число. Следовательно, сумма этих членов всегда будет положительной, и этот многочлен также всегда положителен.

• 6. a⁴ + 4b²

  Член a⁴ неотрицателен, а 4b² также неотрицателен. Таким образом, сумма этих членов всегда будет неотрицательной. Однако, если b = 0, то a⁴ также может быть равно 0, и в этом случае весь многочлен будет равен 0. Таким образом, этот многочлен не всегда положителен.

Итак, многочлены, которые всегда принимают положительные значения для любых значений переменных:

• x⁴ + 3y⁴ + x²y² + 8
• 3a⁴ + 4
• x⁸ + x⁶ + x⁴ + x²
• a⁶ + b⁶ + 18
• x²y² + xy + 1