Как можно найти остаток от деления 624 в степени 312 на 97343, не используя калькулятор и не считая в лоб?

Алгебра Колледж Остатки и деление в алгебре остаток от деления деление на 97343 алгебра 12 класс степень 624 вычисления без калькулятора методы нахождения остатка Новый

Чтобы найти остаток от деления 624 в степени 312 на 97343, мы можем использовать метод, основанный на теореме Ферма и свойстве модульной арифметики. Давайте рассмотрим шаги этого процесса.

Шаг 1: Проверка простоты числа

Сначала нам нужно проверить, является ли число 97343 простым. Если оно простое, мы сможем применить теорему Ферма. Если число не простое, то будем использовать другие методы.

Шаг 2: Применение теоремы Ферма

Если 97343 простое, то по теореме Ферма для любого целого числа a, которое не делится на p (где p - простое число), выполняется следующее:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

В нашем случае p = 97343, а a = 624. Мы должны проверить, что 624 не делится на 97343. Поскольку 624 меньше 97343, это условие выполняется.

Шаг 3: Упрощение степени

Теперь нам нужно вычислить 312 mod (97343 - 1), так как по теореме Ферма мы можем заменить 312 на 312 mod 97342. Сначала найдем 97342:

97342 = 97343 - 1.

Теперь находим 312 mod 97342. Поскольку 312 меньше 97342, это просто 312.

Шаг 4: Вычисление 624^312 mod 97343

Теперь мы можем перейти к вычислению 624^312 mod 97343. Для этого воспользуемся методом "быстрого возведения в степень". Мы будем последовательно возводить 624 в квадрат и брать остаток от деления на 97343.

Шаг 5: Быстрое возведение в степень

• Сначала найдем 624^1 mod 97343 = 624.
• Теперь найдем 624^2 mod 97343:
• 624^2 = 389376.
• 389376 mod 97343 = 389376 - 4 * 97343 = 389376 - 38972 = 62059.
• Теперь найдем 624^4 mod 97343:
• 62059^2 = 3855260888.
• 3855260888 mod 97343 = 3855260888 - 39600 * 97343 = 3855260888 - 3853656000 = 1604888.
• Продолжим возводить в степень, пока не достигнем 624^312:
• 624^8, 624^16 и так далее, применяя модуль на каждом шаге.

Шаг 6: Итоговое вычисление

Когда мы дойдем до 624^312, мы просто возьмем остаток от деления на 97343. Этот процесс может занять некоторое время, но в итоге мы получим остаток от деления 624^312 на 97343.

Заключение

Таким образом, мы можем найти остаток от деления 624 в степени 312 на 97343, используя теорему Ферма и метод быстрого возведения в степень. Если 97343 не простое, то можно использовать другие методы, такие как разложение на множители.