Как можно найти площадь фигуры, заключенной между линиями: y=0, y=1/x^2-4, x=0, x=1?

Алгебра Колледж Определенный интеграл площадь фигуры линии y=0 y=1/x^2-4 x=0 x=1 алгебра 12 класс интегралы графики функций Новый

Привет! Давай разберемся, как найти площадь фигуры, заключенной между этими линиями. Это довольно просто, если следовать нескольким шагам.

1. Определить область интегрирования: У нас есть линии y=0 (это ось x), y=1/x^2-4, x=0 и x=1. Мы будем искать площадь между y=0 и y=1/x^2-4 от x=0 до x=1.
2. Найти точки пересечения: Для начала, давай найдем, где график y=1/x^2-4 пересекает ось x. Это произойдет, когда 1/x^2-4=0. Решив это уравнение, мы получаем, что y=0, когда x^2=1/4, то есть x=±1/2. Но нас интересует только положительное значение, так что x=1/2.
3. Построить график: Если нарисовать график, то можно увидеть, что линия y=1/x^2-4 выше оси x в пределах от x=0 до x=1. Это важно, потому что мы будем интегрировать именно эту область.
4. Вычислить площадь: Теперь мы можем найти площадь, используя интеграл. Площадь равна интегралу от 0 до 1 функции (1/x^2 - 4) по dx. То есть:
   • Площадь = ∫ от 0 до 1 (1/x^2 - 4) dx
5. Решить интеграл: Интегрируя, мы получаем:
   • ∫(1/x^2) dx = -1/x, а ∫(-4) dx = -4x.
   • Подставляем пределы: Площадь = [-1/x - 4x] от 0 до 1.
6. Подставить пределы: После подстановки получаем:
   • На верхнем пределе (x=1): -1/1 - 4*1 = -1 - 4 = -5.
   • На нижнем пределе (x=0): -1/0 (это стремится к бесконечности) - 4*0 = бесконечность.
7. Итог: Площадь будет равна разности этих значений, что даст нам конечный результат.

Вот и все! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать!