Как можно определить уравнения касательной и нормали к графику функции y=(㏑x+1)/(x+1) в точке с абсциссой x0=1, а также как построить графики функции, касательной и нормали вблизи точки (x0, f(x0))?

Алгебра Колледж Уравнения касательной и нормали к графику функции Уравнение касательной уравнение нормали график функции алгебра 12 точка касания производная функции построение графиков Новый

Чтобы определить уравнения касательной и нормали к графику функции y = (ln(x) + 1) / (x + 1) в точке с абсциссой x0 = 1, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти значение функции в точке x0

Сначала подставим x0 = 1 в уравнение функции:

f(1) = (ln(1) + 1) / (1 + 1) = (0 + 1) / (2) = 1 / 2 = 0.5.

Таким образом, точка на графике функции, в которой мы будем строить касательную и нормаль, имеет координаты (1, 0.5).

Шаг 2: Найти производную функции

Теперь нам нужно найти производную функции, чтобы определить угол наклона касательной. Используем правило частного:

Если u = ln(x) + 1 и v = x + 1, то:

f'(x) = (u'v - uv') / v^2,

где u' = 1/x и v' = 1.

Подставим значения:

f'(x) = ((1/x)(x + 1) - (ln(x) + 1)(1)) / (x + 1)^2.

Упростим это выражение:

f'(x) = (1 + 1/x - ln(x) - 1) / (x + 1)^2 = (1/x - ln(x)) / (x + 1)^2.

Шаг 3: Найти производную в точке x0

Теперь подставим x0 = 1 в производную:

f'(1) = (1/1 - ln(1)) / (1 + 1)^2 = (1 - 0) / 4 = 1 / 4.

Таким образом, угол наклона касательной в точке (1, 0.5) равен 1/4.

Шаг 4: Уравнение касательной

Теперь мы можем записать уравнение касательной в точке (x0, f(x0)):

y - f(x0) = f'(x0)(x - x0).

Подставим значения:

y - 0.5 = (1/4)(x - 1).

Перепишем уравнение:

y = (1/4)x - 1/4 + 0.5 = (1/4)x + 1/4.

Итак, уравнение касательной: y = (1/4)x + 1/4.

Шаг 5: Уравнение нормали

Угол наклона нормали равен отрицательному обратному углу наклона касательной:

m_norm = -4 (так как 1/(1/4) = 4 и знак меняется).

Теперь запишем уравнение нормали:

y - f(x0) = m_norm(x - x0).

Подставим значения:

y - 0.5 = -4(x - 1).

Перепишем уравнение:

y = -4x + 4 + 0.5 = -4x + 4.5.

Итак, уравнение нормали: y = -4x + 4.5.

Шаг 6: Построение графиков

Для построения графиков функции, касательной и нормали:

• Нарисуйте график функции y = (ln(x) + 1) / (x + 1).
• Нанесите на график точку (1, 0.5).
• Постройте линию, соответствующую уравнению касательной y = (1/4)x + 1/4.
• Постройте линию, соответствующую уравнению нормали y = -4x + 4.5.

Таким образом, вы получите графики функции, касательной и нормали вблизи точки (1, 0.5).