Как можно применять понятие дифференциала для вычисления приблизительного значения z=ln(x³ + y³) в точке (0,09 ; 0,99)?

Алгебра Колледж Дифференциальное исчисление дифференциал вычисление приближенное значение z LN алгебра точка (0,09; 0,99) Новый

Для того чтобы вычислить приблизительное значение функции z = ln(x³ + y³) в точке (0,09; 0,99) с помощью понятия дифференциала, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем частные производные функции

Сначала вычислим частные производные функции z по переменным x и y.

• Частная производная по x:

dz/dx = (3x²)/(x³ + y³)

• Частная производная по y:

dz/dy = (3y²)/(x³ + y³)

Шаг 2: Вычислим частные производные в точке (0,09; 0,99)

Теперь подставим x = 0,09 и y = 0,99 в найденные производные.

• Для dz/dx:

dz/dx = (3*(0,09)²)/((0,09)³ + (0,99)³)

• Для dz/dy:

dz/dy = (3*(0,99)²)/((0,09)³ + (0,99)³)

Шаг 3: Найдем значение функции в точке (0,09; 0,99)

Вычислим значение функции z в точке (0,09; 0,99):

z(0,09; 0,99) = ln((0,09)³ + (0,99)³)

Шаг 4: Применим дифференциал

Теперь мы можем использовать дифференциал для вычисления приблизительного значения функции:

dz = (dz/dx) * dx + (dz/dy) * dy

Где dx и dy - это небольшие изменения в x и y. В нашем случае, если мы возьмем dx = 0,01 и dy = 0,01, то:

• dx = 0,09 - 0,1 = -0,01
• dy = 0,99 - 1,0 = -0,01

Шаг 5: Подставим значения и вычислим dz

Теперь подставим все найденные значения в формулу для dz и вычислим:

dz = (dz/dx) * (-0,01) + (dz/dy) * (-0,01)

Шаг 6: Найдем приблизительное значение z

Приблизительное значение z в точке (0,09; 0,99) будет равно:

z(0,09; 0,99) + dz

Таким образом, мы получаем приблизительное значение функции z = ln(x³ + y³) в заданной точке, используя понятие дифференциала.