Как можно разложить функцию f(x)=(x^8)*e^(-2x) в степенной ряд по степеням x?

Алгебра Колледж Степенные ряды и ряды Тейлора разложение функции степенной ряд алгебра 12 f(x)=(x^8)*e^(-2x) математический анализ Новый

Чтобы разложить функцию f(x) = (x^8) * e^(-2x) в степенной ряд по степеням x, мы можем воспользоваться разложением экспоненциальной функции в ряд Тейлора.

Шаги решения следующие:

1. Разложение e^(-2x) в ряд Тейлора:
   • Функция e^x разлагается в ряд Тейлора вокруг 0 по формуле: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
   • Для e^(-2x) мы подставим -2x вместо x: e^(-2x) = 1 - 2x + (-2x)^2/2! + (-2x)^3/3! + ...
   • Это можно записать как: e^(-2x) = 1 - 2x + 2x^2/2 - (8x^3)/6 + ...
2. Умножение на x^8:
   • Теперь мы умножим полученное разложение на x^8: f(x) = (x^8) * (1 - 2x + 2x^2/2 - (8x^3)/6 + ...)
   • Это дает нам: f(x) = x^8 - 2x^9 + x^{10} - (8/6)x^{11} + ...
3. Запись конечного результата:
   • Теперь мы можем записать разложение в виде степенного ряда: f(x) = Σ (от n=0 до бесконечности) a_n * x^(n+8)
   • Где коэффициенты a_n получаются из разложения e^(-2x).

Таким образом, мы разложили функцию f(x) = (x^8) * e^(-2x) в степенной ряд по степеням x.