Как можно решить интеграл 6) | 2 4x-7 x+6x+10 dx;

Алгебра Колледж Интегралы интеграл решение интеграла алгебра 12 класс математический анализ Новый

Чтобы решить интеграл, давайте сначала упростим выражение под интегралом. Мы имеем интеграл следующего вида:

∫ (2(4x - 7) / (x + 6x + 10)) dx

Сначала упростим знаменатель:

• x + 6x + 10 = 7x + 10

Теперь наш интеграл выглядит так:

∫ (2(4x - 7) / (7x + 10)) dx

Далее, мы можем разложить числитель. Умножим 2 на (4x - 7):

• 2 * 4x = 8x
• 2 * -7 = -14

Таким образом, числитель становится:

8x - 14

Теперь мы можем записать интеграл в следующем виде:

∫ ((8x - 14) / (7x + 10)) dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод деления многочленов, если числитель имеет степень больше или равную степени знаменателя. Однако в нашем случае степень числителя меньше, чем степень знаменателя, поэтому мы можем использовать метод подстановки.

Пусть:

u = 7x + 10

Тогда производная u будет:

du/dx = 7

Отсюда:

dx = du / 7

Теперь нам нужно выразить x через u. Из уравнения u = 7x + 10 мы можем выразить x:

x = (u - 10) / 7

Теперь подставим x в наш интеграл:

∫ ((8((u - 10) / 7) - 14) / u) * (du / 7)

Упростим выражение:

• 8((u - 10) / 7) = (8u - 80) / 7
• Итак, 8((u - 10) / 7) - 14 = (8u - 80 - 98) / 7 = (8u - 178) / 7

Теперь интеграл становится:

∫ ((8u - 178) / (7u)) * (du / 7)

Упростим это:

∫ ((8u - 178) / (49u)) du

Теперь мы можем разделить интеграл на два простых интеграла:

∫ (8/49) du - ∫ (178/(49u)) du

Теперь вычислим оба интеграла:

• Первый интеграл: (8/49)u
• Второй интеграл: 178/(49) * ln|u|

Таким образом, мы получаем:

(8/49)u - (178/49)ln|u| + C

Теперь подставим обратно значение u:

(8/49)(7x + 10) - (178/49)ln|7x + 10| + C

Итак, окончательный ответ на интеграл:

(8/49)(7x + 10) - (178/49)ln|7x + 10| + C