Давайте разберем каждое из данных уравнений и неравенств по отдельности.

Сначала воспользуемся тригонометрической формулой: 2 sin(a) cos(a) = sin(2a). Таким образом, мы можем переписать неравенство:

• 4 sin(x/2) cos(x/2) = 2 sin(x).

Теперь неравенство выглядит так:

• 2 sin(x) ≤ -1.

Разделим обе стороны на 2:

• sin(x) ≤ -1/2.

Теперь найдем значения x, для которых sin(x) ≤ -1/2. Это происходит в третьем и четвертом квадрантах. Основное решение для sin(x) = -1/2:

• x = 7π/6 + 2kπ, k ∈ Z (третья четверть),
• x = 11π/6 + 2kπ, k ∈ Z (четвертая четверть).

Таким образом, общее решение:

• x ∈ [7π/6 + 2kπ; 2kπ + 11π/6], k ∈ Z.

Используем формулы для двойного угла:

• sin(2x) = 2 sin(x) cos(x),
• cos(2x) = cos²(x) - sin²(x).

Теперь подставим их в неравенство:

• 2 sin(x) cos(x) sin(x) - (cos²(x) - sin²(x)) cos(x) ≤ 1/2.

Упрощаем:

• 2 sin²(x) cos(x) - cos³(x) + sin²(x) cos(x) ≤ 1/2.

Это неравенство можно решить численно или графически, определяя интервалы, где оно выполняется.

Сначала изолируем один из корней:

• √(x - 3) = √3 - √(6 - x).

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

• x - 3 = (√3 - √(6 - x))².

Раскроем скобки:

• x - 3 = 3 - 2√3√(6 - x) + (6 - x).

Упрощаем:

• x - 3 = 9 - x - 2√3√(6 - x).

Переносим все члены на одну сторону:

• 2x - 12 = -2√3√(6 - x).

Делим обе стороны на -2:

• 6 - x = √3√(6 - x).

Возводим в квадрат:

• (6 - x)² = 3(6 - x).

Решаем это уравнение, получая:

• x² - 9x + 27 = 0.

Находим дискриминант и решаем квадратное уравнение. После нахождения корней, проверяем, подходят ли они к исходному уравнению.

Таким образом, мы разобрали каждое из уравнений и неравенств. Если у вас есть дополнительные вопросы по этим решениям, не стесняйтесь спрашивать!

1. 4 sin( x/2 ) cos( x/2 ) ≤ - 1
2. sin(2x) sin(x) - cos(2x) cos(x) ≤ 1/2
3. √(x - 3) + √(6 - x) = √3

√(x - 3) + √(6 - x) = √3

возведем обе части уравнения в квадрат

x-3+6-x+2√(x-3)(6-x)=3

2√(x-3)(6-x)=0

x1=3

x2=6

оба корня удовлетворяют области определения

sin(2x) sin(x) - cos(2x) cos(x) ≤ 1/2

перед нами косинус суммы с обратным знаком

-cos(2x+x)<=1/2

cos3x>=-1/2

данное неравенство можно решить графически используя график косинуса

2/3П+2Пk<=3х<=8П/6+2Пk

2П/9+(2/3)Пk<=х<=4П/9+(2/3)Пk

4 sin( x/2 ) cos( x/2 ) ≤ - 1

sinx<=-1/2

-П+П/6+2Пk<=x<=-П/6+2Пk

-5П/6+2Пk<=x<=-П/6+2Пk