Как можно решить следующие задачи по алгебре:

1. y' = 2x(y - 1)^2
2. интеграл от П/12 до П/18 cos(3x) dx

Помогите, пожалуйста -.-

Алгебра Колледж Дифференциальные уравнения и интегралы алгебра решение задач Дифференциальные уравнения интегралы cos(3x) математический анализ помощь по алгебре Новый

Давайте разберем обе задачи по порядку.

Первая задача: y' = 2x(y - 1)^2

Это дифференциальное уравнение, которое можно решить методом разделения переменных. Мы можем выразить y' как dy/dx и переписать уравнение:

1. Переписываем уравнение: dy/dx = 2x(y - 1)^2.
2. Разделяем переменные:
   • dy / (y - 1)^2 = 2x dx.
3. Теперь интегрируем обе стороны:
   • Интеграл от левой стороны: ∫ dy / (y - 1)^2 = -1 / (y - 1) + C1.
   • Интеграл от правой стороны: ∫ 2x dx = x^2 + C2.
4. Теперь у нас есть: -1 / (y - 1) = x^2 + C, где C = C2 - C1.
5. Переписываем уравнение для y:
   • y - 1 = -1 / (x^2 + C),
   • y = -1 / (x^2 + C) + 1.

Таким образом, мы нашли общее решение данного дифференциального уравнения.

Вторая задача: Интеграл от П/12 до П/18 cos(3x) dx

Для решения этого интеграла воспользуемся методом подстановки:

1. Сначала найдем первообразную для cos(3x). Мы знаем, что:
   • ∫ cos(kx) dx = (1/k) sin(kx) + C, где k - константа.
2. В нашем случае k = 3, поэтому:
   • ∫ cos(3x) dx = (1/3) sin(3x) + C.
3. Теперь подставим пределы интегрирования от П/12 до П/18:
   • ∫[П/12, П/18] cos(3x) dx = [(1/3) sin(3x)] | П/12 до П/18.
4. Теперь вычисляем:
   • Подставляем верхний предел: (1/3) sin(3 * П/18) = (1/3) sin(П/6) = (1/3) * (1/2) = 1/6.
   • Подставляем нижний предел: (1/3) sin(3 * П/12) = (1/3) sin(П/4) = (1/3) * (√2/2) = √2/6.
5. Теперь находим разность:
   • 1/6 - √2/6 = (1 - √2) / 6.

Таким образом, значение интеграла от П/12 до П/18 для функции cos(3x) равно (1 - √2) / 6.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, пожалуйста, дайте знать!