Как можно решить уравнение 4^(sqrt(x)+1.5) - 13⋅2^((x-1)/(sqrt(x)-1)) + 20 = 0? Пожалуйста, помогите!

Алгебра Колледж Уравнения с показателями и логарифмами решение уравнения алгебра уравнение 4^(sqrt(x)+1.5) уравнение 2^((x-1)/(sqrt(x)-1)) математическая помощь Новый

Чтобы решить уравнение 4^(sqrt(x)+1.5) - 13⋅2^((x-1)/(sqrt(x)-1)) + 20 = 0, давайте сначала упростим его. Мы знаем, что 4 можно представить как 2^2. Таким образом, 4^(sqrt(x)+1.5) можно записать как (2^2)^(sqrt(x)+1.5), что равняется 2^(2*(sqrt(x)+1.5)) = 2^(2sqrt(x) + 3).

Теперь перепишем уравнение:

• 2^(2sqrt(x) + 3) - 13⋅2^((x-1)/(sqrt(x)-1)) + 20 = 0.

Далее, давайте упростим второй член - 13⋅2^((x-1)/(sqrt(x)-1)). Это выражение может быть сложным для анализа, поэтому попробуем найти значение x, при котором уравнение может быть выполнено.

Для этого удобно использовать подстановку. Обозначим:

• y = sqrt(x).

Тогда x = y^2, и уравнение можно переписать в терминах y:

• 2^(2y + 3) - 13⋅2^((y^2 - 1)/(y - 1)) + 20 = 0.

Теперь упростим второй член:

• (y^2 - 1)/(y - 1) = (y - 1)(y + 1)/(y - 1) = y + 1 (при y ≠ 1).

Таким образом, уравнение принимает вид:

• 2^(2y + 3) - 13⋅2^(y + 1) + 20 = 0.

Теперь упростим это уравнение:

• 2^(2y + 3) = 8 * 2^(2y),
• 13 * 2^(y + 1) = 26 * 2^y.

Теперь у нас есть:

• 8 * 2^(2y) - 26 * 2^y + 20 = 0.

Теперь сделаем замену:

• z = 2^y.

Тогда уравнение становится:

• 8z^2 - 26z + 20 = 0.

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 * 8 * 20 = 676 - 640 = 36.

Теперь найдем корни уравнения:

• z1,2 = (26 ± sqrt(36)) / (2 * 8) = (26 ± 6) / 16.

Это дает нам два корня:

• z1 = (32) / 16 = 2,
• z2 = (20) / 16 = 1.25.

Теперь вернемся к переменной y:

• 2^y = 2 => y = 1,
• 2^y = 1.25 => y = log2(1.25).

Теперь найдём x:

• Если y = 1, то x = y^2 = 1^2 = 1.
• Если y = log2(1.25), то x = (log2(1.25))^2.

Таким образом, у нас есть два значения для x:

• x = 1,
• x = (log2(1.25))^2.

Это и есть решение данного уравнения. Если вам нужна дополнительная помощь с последними шагами или с числовыми значениями, дайте знать!