2025-01-01 00:53:47
Как можно упростить дробь (x^47+x^46+x^45+⋯+x+1)/(x^15+x^14+x^13+⋯+x+1)?
Алгебра Колледж Упрощение дробей с многочленами упрощение дроби алгебра дроби математические выражения x^47 x^15 формулы алгебраические операции
2025-01-01 00:54:02
Чтобы упростить дробь (x^47 + x^46 + x^45 + ... + x + 1) / (x^15 + x^14 + x^13 + ... + x + 1), начнем с того, что обе части дроби являются геометрическими прогрессиями.
Шаг 1: Запись суммы геометрической прогрессии
Сумма геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:
S = a * (1 - r^n) / (1 - r),
где a - первый член, r - знаменатель, n - количество членов.
В нашем случае:
- Для числителя:
- a = 1 (первый член),
- r = x (знаменатель),
- n = 48 (всего 48 членов от x^47 до 1).
Таким образом, числитель:
(x^47 + x^46 + ... + x + 1) = 1 * (1 - x^48) / (1 - x) = (1 - x^48) / (1 - x).
Шаг 2: Аналогично для знаменателя
- Для знаменателя:
- a = 1 (первый член),
- r = x (знаменатель),
- n = 16 (всего 16 членов от x^15 до 1).
Таким образом, знаменатель:
(x^15 + x^14 + ... + x + 1) = 1 * (1 - x^16) / (1 - x) = (1 - x^16) / (1 - x).
Шаг 3: Подстановка в дробь
Теперь подставим полученные суммы в нашу дробь:
Дробь = (1 - x^48) / (1 - x) / ((1 - x^16) / (1 - x)).
Шаг 4: Упрощение дроби
Мы можем упростить дробь, умножив на обратную величину знаменателя:
Дробь = (1 - x^48) / (1 - x^16).
Шаг 5: Итоговый ответ
Таким образом, упрощенная форма дроби (x^47 + x^46 + ... + x + 1) / (x^15 + x^14 + ... + x + 1) равна:
(1 - x^48) / (1 - x^16).
