Как можно упростить дробь (x^47+x^46+x^45+⋯+x+1)/(x^15+x^14+x^13+⋯+x+1)?

Алгебра Колледж Упрощение дробей с многочленами упрощение дроби алгебра дроби математические выражения x^47 x^15 формулы алгебраические операции Новый

Чтобы упростить дробь (x^47 + x^46 + x^45 + ... + x + 1) / (x^15 + x^14 + x^13 + ... + x + 1), начнем с того, что обе части дроби являются геометрическими прогрессиями.

Шаг 1: Запись суммы геометрической прогрессии

Сумма геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где a - первый член, r - знаменатель, n - количество членов.

В нашем случае:

• Для числителя:
• a = 1 (первый член),
• r = x (знаменатель),
• n = 48 (всего 48 членов от x^47 до 1).

Таким образом, числитель:

(x^47 + x^46 + ... + x + 1) = 1 * (1 - x^48) / (1 - x) = (1 - x^48) / (1 - x).

Шаг 2: Аналогично для знаменателя

• Для знаменателя:
• a = 1 (первый член),
• r = x (знаменатель),
• n = 16 (всего 16 членов от x^15 до 1).

Таким образом, знаменатель:

(x^15 + x^14 + ... + x + 1) = 1 * (1 - x^16) / (1 - x) = (1 - x^16) / (1 - x).

Шаг 3: Подстановка в дробь

Теперь подставим полученные суммы в нашу дробь:

Дробь = (1 - x^48) / (1 - x) / ((1 - x^16) / (1 - x)).

Шаг 4: Упрощение дроби

Мы можем упростить дробь, умножив на обратную величину знаменателя:

Дробь = (1 - x^48) / (1 - x^16).

Шаг 5: Итоговый ответ

Таким образом, упрощенная форма дроби (x^47 + x^46 + ... + x + 1) / (x^15 + x^14 + ... + x + 1) равна:

(1 - x^48) / (1 - x^16).