Как найти частные производные первого порядка для функции двух переменных z=3^(x^2-y^2)?

Алгебра Колледж Частные производные функций нескольких переменных частные производные функция двух переменных алгебра z=3^(x^2-y^2) производные первого порядка Новый

Чтобы найти частные производные первого порядка функции двух переменных, нужно следовать определенным шагам. Рассмотрим функцию z = 3^(x^2 - y^2). Мы будем находить частные производные по переменным x и y отдельно.

Шаг 1: Найти частную производную по x

Частная производная функции z по переменной x обозначается как ∂z/∂x. Для её нахождения мы будем считать переменную y постоянной. Используем правило дифференцирования сложной функции.

• Сначала найдем производную от 3^(u), где u = x^2 - y^2. Производная от 3^(u) равна 3^(u) * ln(3) * (du/dx).
• Теперь найдем du/dx: так как u = x^2 - y^2, то du/dx = 2x.
• Теперь подставим все обратно: ∂z/∂x = 3^(x^2 - y^2) * ln(3) * 2x.

Таким образом, частная производная по x будет:

∂z/∂x = 2x * 3^(x^2 - y^2) * ln(3).

Шаг 2: Найти частную производную по y

Теперь найдем частную производную функции z по переменной y, обозначаемую как ∂z/∂y. Здесь мы будем считать переменную x постоянной.

• Сначала найдем производную от 3^(u), где u = x^2 - y^2. Аналогично, производная от 3^(u) равна 3^(u) * ln(3) * (du/dy).
• Теперь найдем du/dy: так как u = x^2 - y^2, то du/dy = -2y.
• Теперь подставим все обратно: ∂z/∂y = 3^(x^2 - y^2) * ln(3) * (-2y).

Таким образом, частная производная по y будет:

∂z/∂y = -2y * 3^(x^2 - y^2) * ln(3).

В итоге, мы получили частные производные:

• ∂z/∂x = 2x * 3^(x^2 - y^2) * ln(3),
• ∂z/∂y = -2y * 3^(x^2 - y^2) * ln(3).