Как найти объем тела, ограниченного поверхностями: y=x, x+y=2 и z^2 =9x?

Алгебра Колледж Объем тел вращения и интегралы в пространстве Объём тела алгебра поверхности y=x x+y=2 z^2=9x математические задачи решение задач геометрия интегралы

Для нахождения объема тела, ограниченного заданными поверхностями, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение границ в плоскости xy

Сначала мы найдем область, ограниченную кривыми y = x и x + y = 2. Для этого решим систему уравнений:

• y = x
• x + y = 2

Подставим первое уравнение во второе:

x + x = 2, что дает нам 2x = 2, отсюда x = 1. Подставляя x = 1 в y = x, получаем y = 1.

Теперь найдем точки пересечения:

• Точка A: (1, 1)
• Точка B: (2, 0), если y = 0, то x = 2.
• Точка C: (0, 2), если x = 0, то y = 2.

Таким образом, область в плоскости xy ограничена треугольником с вершинами (0, 2), (2, 0) и (1, 1).

Шаг 2: Определение высоты тела

Теперь определим, как выглядит поверхность z = sqrt(9x). Это будет параболоид, открывающийся вверх. Значит, высота нашего тела будет определяться этой поверхностью.

Шаг 3: Запись объема через двойной интеграл

Объем тела V можно выразить через двойной интеграл:

V = ∬_D z dA, где D – это область, ограниченная кривыми в плоскости xy.

В нашем случае z = sqrt(9x), поэтому:

V = ∬_D sqrt(9x) dA.

Шаг 4: Определение пределов интегрирования

Теперь нужно определить пределы интегрирования. Для треугольной области D можно использовать следующие пределы:

• Для x: от 0 до 2.
• Для y: от 0 до (2 - x).

Шаг 5: Вычисление интеграла

Теперь подставим все это в интеграл:

V = ∫(от 0 до 2) ∫(от 0 до (2-x)) sqrt(9x) dy dx.

Сначала вычислим внутренний интеграл по y:

∫(от 0 до (2-x)) sqrt(9x) dy = sqrt(9x) * (2 - x).

Теперь подставим это в внешний интеграл:

V = ∫(от 0 до 2) sqrt(9x) * (2 - x) dx.

Теперь вам нужно вычислить этот интеграл. После вычисления вы получите объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

Для нахождения объема тела, ограниченного заданными поверхностями, необходимо выполнить несколько шагов, включая определение границ интегрирования и применение тройного интеграла. Рассмотрим каждый из шагов подробно.

Шаг 1: Определение границ в плоскости XY

Сначала найдем область, ограниченную кривыми y = x и x + y = 2. Для этого решим систему уравнений:

• y = x
• x + y = 2

Подставляя y = x в уравнение x + y = 2, получаем:

• x + x = 2
• 2x = 2
• x = 1

Следовательно, y = 1. Таким образом, точки пересечения кривых — (1, 1) и (0, 2) (при x = 0, y = 2).

Шаг 2: Определение области интегрирования

Теперь определим область интегрирования в плоскости XY. Мы видим, что область ограничена:

• Слева: y = x
• Справа: x + y = 2

Границы по x: от 0 до 1. Границы по y: от x до 2 - x.

Шаг 3: Определение границ по Z

Теперь рассмотрим третью поверхность z^2 = 9x. Из этого уравнения следует, что z = ±3√x. Поскольку объем всегда положителен, будем рассматривать z = 3√x как верхнюю границу, а z = 0 как нижнюю.

Шаг 4: Запись тройного интеграла

Теперь мы можем записать объем V в виде тройного интеграла:

V = ∫∫∫ dz dy dx

Где:

• z меняется от 0 до 3√x;
• y меняется от x до 2 - x;
• x меняется от 0 до 1.

Шаг 5: Вычисление интеграла

Теперь можем записать интеграл:

V = ∫ от 0 до 1 ∫ от x до 2-x ∫ от 0 до 3√x dz dy dx.

Сначала вычислим интеграл по z:

∫ от 0 до 3√x dz = 3√x.

Теперь подставим это значение в интеграл по y:

V = ∫ от 0 до 1 ∫ от x до 2-x 3√x dy dx.

Интегрируем по y:

∫ от x до 2-x 3√x dy = 3√x * (2 - 2x) = 6√x - 6x√x.

Теперь подставим это значение в интеграл по x:

V = ∫ от 0 до 1 (6√x - 6x√x) dx.

Вычислив этот интеграл, мы получим объем тела.

Шаг 6: Итог

Таким образом, объем тела, ограниченного заданными поверхностями, можно найти, выполнив тройной интеграл с учетом всех границ. Важно правильно определить границы интегрирования и последовательно вычислить интегралы.