Как найти производную от произведения сложной функции:

y = 3 tg (4x^5 + 3) * 2√(2x^2 + 9/x)

Алгебра Колледж Производная сложной функции производная произведение сложная функция алгебра 12 класс y = 3 tg (4x^5 + 3) 2√(2x^2 + 9/x) Новый

Чтобы найти производную функции y = 3 tg(4x^5 + 3) * 2√(2x^2 + 9/x), нам нужно использовать правило произведения и правило дифференцирования сложной функции.

Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции u(x) и v(x), то производная их произведения y = u(x) * v(x) равна:

• y' = u' * v + u * v'

В нашем случае:

• u(x) = 3 tg(4x^5 + 3)
• v(x) = 2√(2x^2 + 9/x)

Теперь найдем производные u' и v'.

Шаг 1: Найдем u'

Для нахождения производной u(x) = 3 tg(4x^5 + 3) используем правило цепочки:

• u' = 3 * (1/cos^2(4x^5 + 3)) * (d/dx(4x^5 + 3))

Теперь найдем производную внутренней функции 4x^5 + 3:

• d/dx(4x^5 + 3) = 20x^4

Теперь подставим это значение в производную u:

• u' = 3 * (1/cos^2(4x^5 + 3)) * 20x^4 = 60x^4/cos^2(4x^5 + 3)

Шаг 2: Найдем v'

Теперь найдем производную v(x) = 2√(2x^2 + 9/x). Сначала упростим v:

• v(x) = 2(2x^2 + 9/x)^(1/2)

Используем правило цепочки для нахождения производной v:

• v' = 2 * (1/2)(2x^2 + 9/x)^(-1/2) * (d/dx(2x^2 + 9/x))

Теперь найдем производную внутренней функции 2x^2 + 9/x:

• d/dx(2x^2 + 9/x) = 4x - 9/x^2

Подставляем это значение в производную v:

• v' = (2/2)(2x^2 + 9/x)^(-1/2) * (4x - 9/x^2) = (2x^2 + 9/x)^(-1/2) * (4x - 9/x^2)

Шаг 3: Подставляем u' и v' в правило произведения

Теперь мы можем подставить найденные производные u' и v' в правило произведения:

• y' = u' * v + u * v'
• y' = (60x^4/cos^2(4x^5 + 3)) * (2√(2x^2 + 9/x)) + (3 tg(4x^5 + 3)) * ((2x^2 + 9/x)^(-1/2) * (4x - 9/x^2))

Теперь у вас есть полное выражение для производной функции y. Вы можете упростить его при необходимости, но это уже зависит от конкретных требований задачи.