Чтобы решить уравнение (x - 4.5) ^ 4 + (x - 5.5) ^ 4 = 1, следуем следующим шагам:

1. Введение новых переменных: Для упрощения, введем новые переменные. Пусть y1 = x - 4.5 и y2 = x - 5.5. Тогда можно заметить, что y2 = y1 - 1.
2. Подставим новые переменные в уравнение: Теперь у нас есть: y1 ^ 4 + (y1 - 1) ^ 4 = 1.
3. Раскроем скобки: Раскроим (y1 - 1) ^ 4 с помощью формулы бинома:
   • (y1 - 1) ^ 4 = y1 ^ 4 - 4y1 ^ 3 + 6y1 ^ 2 - 4y1 + 1.
4. Заменим в уравнении: Теперь подставим это обратно в уравнение: y1 ^ 4 + (y1 ^ 4 - 4y1 ^ 3 + 6y1 ^ 2 - 4y1 + 1) = 1.
5. Упростим уравнение: Сложим подобные члены: 2y1 ^ 4 - 4y1 ^ 3 + 6y1 ^ 2 - 4y1 + 1 = 1. Убираем единицу с правой стороны: 2y1 ^ 4 - 4y1 ^ 3 + 6y1 ^ 2 - 4y1 = 0.
6. Разделим на 2: Упростим уравнение, разделив его на 2: y1 ^ 4 - 2y1 ^ 3 + 3y1 ^ 2 - 2y1 = 0.
7. Вынесем общий множитель: Вынесем y1: y1(y1 ^ 3 - 2y1 ^ 2 + 3y1 - 2) = 0.
8. Решим первое уравнение: Первое уравнение y1 = 0, что дает: x - 4.5 = 0, или x = 4.5.
9. Решим кубическое уравнение: Теперь решим кубическое уравнение: y1 ^ 3 - 2y1 ^ 2 + 3y1 - 2 = 0. Для этого можно использовать метод подбора или графический метод. Проверим, например, y1 = 1:
   • 1^3 - 2*1^2 + 3*1 - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0.
   Значит, y1 = 1 - корень этого уравнения.
10. Разделим на (y1 - 1): Используя деление многочленов, получим: (y1 - 1)(y1^2 - y1 + 2) = 0. Второе уравнение y1^2 - y1 + 2 = 0 не имеет действительных корней, так как дискриминант меньше нуля.
11. Итак, получаем корни: Таким образом, у нас есть только один действительный корень: y1 = 1. Подставляем обратно: x - 4.5 = 1, или x = 5.5.
12. Ответ: Решением уравнения (x - 4.5) ^ 4 + (x - 5.5) ^ 4 = 1 является: x = 4.5 и x = 5.5.