Как найти решение уравнения y'' + 7y' + 10y = 2e^(2x)?

Алгебра Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка решение уравнения алгебра Дифференциальные уравнения y'' + 7y' + 10y метод решения e^(2x) Новый

Для решения уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как y'' + 7y' + 10y = 2e^(2x), необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем искать общее решение, которое состоит из двух частей: однородной и частного решения.

1. Находим общее решение однородного уравнения:

   Сначала решим однородное уравнение y'' + 7y' + 10y = 0.

   Для этого найдем характеристическое уравнение:

   r^2 + 7r + 10 = 0

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9

   Так как D > 0, у нас два различных корня:

   r1 = (-b + sqrt(D)) / 2a = (-7 + 3) / 2 = -2
   r2 = (-b - sqrt(D)) / 2a = (-7 - 3) / 2 = -5

   Таким образом, общее решение однородного уравнения будет:

   y_h = C1 * e^(-2x) + C2 * e^(-5x), где C1 и C2 - произвольные константы.
2. Находим частное решение:

   Теперь нам нужно найти частное решение y_p для неоднородного уравнения y'' + 7y' + 10y = 2e^(2x).

   Поскольку правая часть уравнения имеет вид 2e^(2x), мы можем предположить, что частное решение будет иметь вид:

   y_p = Ae^(2x), где A - константа, которую мы определим позже.

   Теперь подставим y_p в исходное уравнение:

   • Находим производные:
   • y_p' = 2Ae^(2x)
   • y_p'' = 4Ae^(2x)
   • Подставляем в уравнение:
   4Ae^(2x) + 7(2Ae^(2x)) + 10(Ae^(2x)) = 2e^(2x)
   • Соберем все члены:
   (4A + 14A + 10A)e^(2x) = 2e^(2x)
   • Упрощаем:
   28Ae^(2x) = 2e^(2x)
   • Так как e^(2x) не равно нулю, можем сократить:
   28A = 2
   • Отсюда находим A:
   A = 2/28 = 1/14
   • Таким образом, частное решение будет:
   y_p = (1/14)e^(2x)
3. Записываем общее решение:

   Теперь, когда у нас есть общее решение однородного уравнения и частное решение, мы можем записать полное решение:

   y = y_h + y_p = C1 * e^(-2x) + C2 * e^(-5x) + (1/14)e^(2x)

Таким образом, полное решение уравнения y'' + 7y' + 10y = 2e^(2x) имеет вид:

y = C1 e^(-2x) + C2 e^(-5x) + (1/14)e^(2x), где C1 и C2 - произвольные константы, определяемые начальными условиями, если они даны.