Как решить интеграл x² * cos(3x² + 1)dx? Какие методы интегрирования можно использовать для нахождения его значения?

Алгебра Колледж Интегрирование решение интеграла интеграл x² * cos(3x² + 1)dx методы интегрирования алгебра 12 класс вычисление интегралов Новый

Решение интеграла ∫ x² * cos(3x² + 1) dx можно провести с использованием метода подстановки. Давайте разберем шаги этого метода.

1. Подбор подстановки: В данном случае, мы заметим, что внутри косинуса находится выражение 3x² + 1. Это подсказывает, что мы можем использовать подстановку:
   • u = 3x² + 1
2. Нахождение производной: Теперь найдем производную u по x:
   • du/dx = 6x
   • Следовательно, du = 6x dx
3. Выразим dx через du: Из уравнения du = 6x dx можно выразить dx:
   • dx = du / (6x)

   Также нам нужно выразить x² через u. Из подстановки мы имеем:

   • x² = (u - 1) / 3
4. Подстановка в интеграл: Подставим все найденные выражения в интеграл:
   • ∫ x² * cos(3x² + 1) dx = ∫ ((u - 1) / 3) * cos(u) * (du / (6x))

   Однако, у нас есть x в знаменателе. Мы можем выразить x через u:

   • x = √((u - 1) / 3)
5. Упрощение интеграла: После подстановки и упрощения мы получаем интеграл, который будет легче решать:
   • ∫ ((u - 1) / 3) * cos(u) * (du / (6 * √((u - 1) / 3)))

   Теперь, после упрощения, мы сможем решить интеграл с помощью стандартных методов интегрирования.

6. Решение интеграла: После подстановки и упрощения вы сможете решить интеграл, используя табличные интегралы или интегрирование по частям, если это потребуется.

Таким образом, основной метод, который мы использовали для решения данного интеграла, - это метод подстановки. После нахождения интеграла не забудьте вернуть переменную x, подставив обратно через u.