Как решить неравенство |1 + 4i - 2^{-x}| ≤ 5, где i = √(-1>?

Алгебра Колледж Комплексные числа и неравенства решение неравенства алгебра комплексные числа неравенства с модулями математический анализ Новый

Чтобы решить неравенство |1 + 4i - 2^{-x}| ≤ 5, начнем с анализа выражения внутри модуля. Напомним, что i - это мнимая единица, и 2^{-x} - это действительное число, так как оно зависит от x.

Мы можем переписать выражение внутри модуля:

1 + 4i - 2^{-x} = (1 - 2^{-x}) + 4i

Теперь найдем модуль этого комплексного числа. Модуль комплексного числа a + bi определяется как:

|a + bi| = √(a² + b²), где a - действительная часть, а b - мнимая часть.

В нашем случае:

• a = 1 - 2^{-x}
• b = 4

Теперь подставим a и b в формулу для модуля:

|1 + 4i - 2^{-x}| = √((1 - 2^{-x})² + 4²)

Это выражение должно быть меньше или равно 5:

√((1 - 2^{-x})² + 16) ≤ 5

Теперь избавимся от корня, возведя обе стороны неравенства в квадрат:

(1 - 2^{-x})² + 16 ≤ 25

Упростим это неравенство:

(1 - 2^{-x})² ≤ 25 - 16

(1 - 2^{-x})² ≤ 9

Теперь извлечем корень из обоих сторон. Не забываем, что при этом нужно учитывать два случая:

1 - 2^{-x} ≤ 3

1 - 2^{-x} ≥ -3

Решим первое неравенство:

1. 1 - 2^{-x} ≤ 3
2. -2^{-x} ≤ 3 - 1
3. -2^{-x} ≤ 2
4. 2^{-x} ≥ -2

Это неравенство всегда верно, так как 2^{-x} всегда положительно.

Теперь решим второе неравенство:

1. 1 - 2^{-x} ≥ -3
2. -2^{-x} ≥ -3 - 1
3. -2^{-x} ≥ -4
4. 2^{-x} ≤ 4

Теперь преобразуем это неравенство:

2^{-x} ≤ 4

Поскольку 4 = 2^2, то:

2^{-x} ≤ 2^2

Теперь сравним степени:

-x ≤ 2

x ≥ -2

Итак, мы пришли к результату. Объединим все найденные условия:

Ответ: x ≥ -2.