Решение уравнения 2x + 2 + arctg(x) * √(x² + 1) + arctg(x + 2) * √(x² + 4x + 5) = 0 можно разбить на несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно.

Первым делом, давайте попробуем упростить уравнение. Мы видим, что у нас есть два выражения с арктангенсом и квадратными корнями. Попробуем их проанализировать.

Функция arctg(x) - это обратная функция тангенса. Она принимает значения от -π/2 до π/2. Значения arctg(x) растут при увеличении x. Также заметим, что arctg(x) * √(x² + 1) и arctg(x + 2) * √(x² + 4x + 5) будут положительными для всех x, так как √(x² + 1) и √(x² + 4x + 5) всегда положительны.

Чтобы уравнение было равно нулю, необходимо, чтобы сумма всех слагаемых была равна -2x - 2. Это значит, что мы должны найти такие значения x, при которых данное выражение становится отрицательным.

Попробуем подставить некоторые значения x, чтобы найти корни уравнения:

• x = -2:

  2(-2) + 2 + arctg(-2) * √((-2)² + 1) + arctg(0) * √((-2)² + 4(-2) + 5) = -4 + 2 + arctg(-2) * √(5) + 0.

• x = 0:

  2(0) + 2 + arctg(0) * √(0² + 1) + arctg(2) * √(0² + 0 + 5) = 2 + 0 + arctg(2) * √(5).

• x = -1:

  2(-1) + 2 + arctg(-1) * √((-1)² + 1) + arctg(1) * √((-1)² + 4(-1) + 5) = 0 + arctg(-1) * √(2) + arctg(1) * √(2).

После подстановки различных значений x, мы можем заметить, что уравнение имеет решение. Однако, для более точного нахождения корней уравнения, можно воспользоваться числовыми методами или графическим методом, чтобы найти пересечение функции с осью абсцисс.

Таким образом, уравнение можно решить, подбирая значения x и анализируя поведение функции. Если вам нужно узнать точные корни, рекомендуется использовать графический калькулятор или численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции.