Как решить уравнение 7 ^ x + x ^ 4 + 47 = y ^ 2 в натуральных числах?

Алгебра Колледж Диофантовы уравнения решение уравнения алгебра уравнение 7^x натуральные числа математические задачи Новый

Для решения уравнения 7^x + x^4 + 47 = y^2 в натуральных числах, мы будем рассматривать его поэтапно.

Шаг 1: Понимание уравнения

У нас есть уравнение, где:

• 7^x - это экспоненциальная функция, которая быстро возрастает с увеличением x.
• x^4 - это полиномиальная функция, которая также растет, но медленнее, чем экспоненциальная.
• 47 - это константа, которая добавляется к сумме.
• y^2 - это квадрат некоторого натурального числа.

Шаг 2: Исследование значений x

Поскольку x и y должны быть натуральными числами, начнем с подстановки небольших значений x и посмотрим, какие результаты мы получим.

Шаг 3: Подстановка значений

1. Для x = 1:
   • 7^1 + 1^4 + 47 = 7 + 1 + 47 = 55
   • 55 не является квадратом натурального числа.
2. Для x = 2:
   • 7^2 + 2^4 + 47 = 49 + 16 + 47 = 112
   • 112 не является квадратом натурального числа.
3. Для x = 3:
   • 7^3 + 3^4 + 47 = 343 + 81 + 47 = 471
   • 471 не является квадратом натурального числа.
4. Для x = 4:
   • 7^4 + 4^4 + 47 = 2401 + 256 + 47 = 2704
   • 2704 = 52^2, что является квадратом натурального числа.

Шаг 4: Поиск других решений

Теперь, когда мы нашли одно решение (x = 4, y = 52), давайте проверим, есть ли другие решения, подставляя большее значение x:

1. Для x = 5:
   • 7^5 + 5^4 + 47 = 16807 + 625 + 47 = 17479
   • 17479 не является квадратом натурального числа.
2. Для x = 6:
   • 7^6 + 6^4 + 47 = 117649 + 1296 + 47 = 118992
   • 118992 не является квадратом натурального числа.

Шаг 5: Вывод

Мы видим, что для x = 4 мы получили решение (x, y) = (4, 52). При дальнейших подстановках значений x, начиная с 5, не удается найти другие натуральные решения.

Таким образом, единственным решением уравнения 7^x + x^4 + 47 = y^2 в натуральных числах является:

(x, y) = (4, 52)