Как решить уравнение (sin ^-1 z + cos ^-1 z)(sin z + cos z) + 2 = 0 и продемонстрировать решение?

Алгебра Колледж Уравнения с обратными тригонометрическими функциями решение уравнения алгебра 12 класс sin^-1 z cos^-1 z sin z cos z математическое решение тригонометрические функции уравнения с тригонометрией Новый

Для решения уравнения (sin ^-1 z + cos ^-1 z)(sin z + cos z) + 2 = 0 давайте разобьем задачу на несколько шагов.

1. Первое, что мы заметим, это то, что sin ^-1 z и cos ^-1 z являются обратными функциями синуса и косинуса соответственно. Мы знаем, что:

   • sin ^-1 z + cos ^-1 z = π/2 для всех z в диапазоне от -1 до 1.

2. Теперь подставим это значение в наше уравнение:

   (π/2)(sin z + cos z) + 2 = 0

3. Упростим уравнение:

   (π/2)(sin z + cos z) = -2

4. Теперь выразим sin z + cos z:

   sin z + cos z = -4/π

5. Теперь рассмотрим, как можно выразить sin z + cos z через одну тригонометрическую функцию. Мы знаем, что:

   • sin z + cos z = √2 * sin(z + π/4).

   Таким образом, у нас есть:

   √2 * sin(z + π/4) = -4/π

6. Теперь решим это уравнение:

   sin(z + π/4) = -4/(π√2)

   Обратите внимание, что значение -4/(π√2} должно находиться в диапазоне от -1 до 1, чтобы иметь решение. Рассчитаем это значение:

   • При π ≈ 3.14, получаем:
   -4/(3.14√2) ≈ -0.9, что действительно находится в диапазоне от -1 до 1.

7. Теперь, чтобы найти z, мы можем использовать обратную функцию синуса:

   z + π/4 = arcsin(-4/(π√2))

   Следовательно:

   z = arcsin(-4/(π√2)) - π/4

8. Не забудьте, что синус является периодической функцией, и поэтому у нас есть общее решение:

   z = arcsin(-4/(π√2)) - π/4 + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы получили общее решение уравнения. Если вам нужно найти конкретные значения, можно подставить различные значения k и вычислить z.