Чтобы вычислить определитель данной матрицы, давайте сначала разберемся, как она выглядит. Эта матрица имеет следующую структуру:

• Первая строка: все элементы равны 1.
• Вторая строка: элементы представляют собой степени числа 2: 2^0, 2^1, ..., 2^n.
• Третья строка: элементы представляют собой степени числа 3: 3^0, 3^1, ..., 3^n.
• И так далее, до (n+1)-й строки, где элементы представляют собой степени числа (n+1): (n+1)^0, (n+1)^1, ..., (n+1)^n.

Таким образом, матрица имеет вид:

|  1     1     1     ...   1       |
|  1     2     2^2   ...   2^n     |
|  1     3     3^2   ...   3^n     |
|  ...   ...   ...    ...   ...     |
|  1     n+1   (n+1)^2 ... (n+1)^n |

Эта матрица является матрицей Вандермонда, где первая колонка состоит из единиц, а остальные колонки содержат степени различных чисел. Определитель матрицы Вандермонда можно вычислить по следующей формуле:

Определитель = произведение (x_i - x_j) для всех i < j

Где x_i - это значения, которые мы использовали для формирования матрицы. В нашем случае это числа от 1 до n+1:

• x_1 = 1
• x_2 = 2
• x_3 = 3
• ...
• x_{n+1} = n+1

Теперь давайте вычислим определитель:

1. Для i=1 и j=2: (2 - 1) = 1
2. Для i=1 и j=3: (3 - 1) = 2
3. Для i=1 и j=4: (4 - 1) = 3
4. ... и так далее до (n+1)
5. Для i=2 и j=3: (3 - 2) = 1
6. Для i=2 и j=4: (4 - 2) = 2
7. ... и так далее
8. Для i=3 и j=4: (4 - 3) = 1
9. ... и так далее

В конечном итоге, определитель будет равен произведению всех этих разностей:

Определитель = (2 - 1)(3 - 1)(4 - 1)...((n+1) - 1) * (3 - 2)(4 - 2)...((n+1) - 2) * ... * (n+1 - n)

Таким образом, определитель матрицы равен:

Определитель = 1 * 2 * 3 * ... * n = n!

Итак, определитель данной матрицы равен факториалу n.