Какое наименьшее значение имеет выражение

(a+b)^5/c + (b+c)^5/a + (a+c)^5/b

при условии, что a + b + c = 1 и a, b, c ∈ R^+?
Ответ должен быть с доказательством.

Алгебра Колледж Неравенства и экстремумы алгебра наименьшее значение выражение a+b C a+b+c=1 A B доказательство условия положительные числа Новый

Ответ: 32/27

Объяснение:

Мы ищем наименьшее значение выражения:

(a+b)^5/c + (b+c)^5/a + (a+c)^5/b

при условии, что a + b + c = 1 и a, b, c ∈ R^+.

Для начала, заметим, что данное выражение является симметричным и циклическим относительно переменных a, b и c. Это значит, что мы можем рассмотреть случай, когда a, b и c равны. Если a = b = c, то по условию a + b + c = 1, следовательно, a = b = c = 1/3.

Теперь подставим a = b = c = 1/3 в наше выражение:

Мы получаем:

(1/3 + 1/3)^5/(1/3) + (1/3 + 1/3)^5/(1/3) + (1/3 + 1/3)^5/(1/3).

Это упрощается до:

(2/3)^5/(1/3) + (2/3)^5/(1/3) + (2/3)^5/(1/3).

Теперь вычислим (2/3)^5:

(2/3)^5 = 32/243.

Подставляем это значение в выражение:

3 * (32/243) / (1/3) = 3 * (32/243) * 3 = 32/81.

Теперь, чтобы найти наименьшее значение нашего выражения, используем неравенство Йенсена. Это неравенство утверждает, что для выпуклой функции f справедливо:

f((x1 + x2 + ... + xn)/n) ≤ (f(x1) + f(x2) + ... + f(xn))/n.

Поскольку функция f(c) = (1-c)^5/c является выпуклой на интервале (0, 1), мы можем применить это неравенство:

f(1/3) ≤ (f(a) + f(b) + f(c))/3.

Таким образом, мы можем сказать, что:

E ≥ 3 * f(1/3).

Теперь вычислим f(1/3):

f(1/3) = (1 - 1/3)^5 / (1/3) = (2/3)^5 / (1/3) = (32/243) / (1/3) = 32/81.

Следовательно, подставляя это обратно, мы получаем:

E_min = 3 * (32/81) = 32/27.

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 32/27, что и требовалось доказать.