Какова формулировка алгоритма Эвклида?

Алгебра Колледж Алгоритм Евклида алгебра алгоритм Эвклида формулировка математика вычисления Новый

Алгоритм Евклида — это метод для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел. Он основан на следующем принципе:

Формулировка алгоритма:

1. Даны два целых числа a и b, где a ≥ b ≥ 0.
2. Если b = 0, то НОД(a, b) = a. Алгоритм завершён.
3. Иначе, вычисляем остаток от деления a на b, обозначим его как r: r = a mod b.
4. Заменяем a на b, а b на r.
5. Повторяем шаги 2-4 до тех пор, пока b не станет равным 0.

Таким образом, наибольший общий делитель двух чисел a и b будет равен последнему ненулевому значению b, полученному в процессе выполнения алгоритма.

Пример:

Рассмотрим числа 48 и 18:

1. 48 mod 18 = 12 (остаток)
2. Теперь a = 18, b = 12.
3. 18 mod 12 = 6 (остаток)
4. Теперь a = 12, b = 6.
5. 12 mod 6 = 0 (остаток)
6. Теперь a = 6, b = 0. Алгоритм завершён.

Таким образом, НОД(48, 18) = 6.