Чтобы найти сумму ∑ от 0 до n для k и ℓ с условием 0 ≤ k ≤ ℓ ≤ n для binom(ℓ, k), давайте разберем задачу по шагам.

1. Понимание биномиального коэффициента: Биномиальный коэффициент binom(ℓ, k) представляет собой количество способов выбрать k элементов из ℓ элементов. Он вычисляется по формуле:

• binom(ℓ, k) = ℓ! / (k! * (ℓ - k)!)

2. Сумма по ℓ: Мы хотим рассмотреть сумму по ℓ от k до n, где k фиксировано. То есть, мы будем суммировать binom(ℓ, k) для всех ℓ от k до n:

• ∑ от ℓ=k до n binom(ℓ, k)

3. Использование свойства биномиальных коэффициентов: Существует известное свойство, которое гласит, что:

• ∑ от ℓ=k до n binom(ℓ, k) = binom(n + 1, k + 1)

Это свойство можно объяснить интуитивно: оно говорит о том, что если мы хотим выбрать k элементов из n + 1, мы можем рассмотреть, как мы можем выбрать один элемент (например, последний) и затем выбрать оставшиеся k элементов из первых n элементов.

4. Финальный ответ: Таким образом, сумма ∑ от 0 до n для k и ℓ с условием 0 ≤ k ≤ ℓ ≤ n для binom(ℓ, k) равна:

• binom(n + 1, k + 1)

Это и есть искомый результат. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше разъяснений, не стесняйтесь спрашивать!