Какова сумма ряда, который состоит из таких членов: 1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(3*4*5) + 1/(4*5*6) + ...?

Алгебра Колледж Сумма бесконечного ряда Сумма ряда алгебра последовательности члены ряда математические ряды Новый

Чтобы найти сумму данного ряда, начнем с его общего члена. Рассмотрим n-й член ряда, который можно записать как:

• a_n = 1/(n*(n+1)*(n+2))

Теперь, чтобы упростить выражение, воспользуемся методом разложения на простейшие дроби. Мы можем представить a_n в виде:

• a_n = A/n + B/(n+1) + C/(n+2)

Где A, B и C — это константы, которые мы должны определить. Умножим обе стороны на n*(n+1)*(n+2):

• 1 = A*(n+1)*(n+2) + B*n*(n+2) + C*n*(n+1)

Теперь подставим разные значения n, чтобы найти A, B и C:

1. Поставим n = 0:
• 1 = A*1*2 => A = 1/2
2. Поставим n = -1:
• 1 = B*(-1)*1 => B = -1
3. Поставим n = -2:
• 1 = C*(-2)*(-1) => C = 1/2

Таким образом, мы имеем:

• A = 1/2, B = -1, C = 1/2

Теперь подставим это обратно в разложение:

• a_n = 1/2n - 1/(n+1) + 1/2(n+2)

Теперь мы можем записать сумму ряда:

• S = Σ (1/(n*(n+1)*(n+2))) = Σ (1/2n - 1/(n+1) + 1/2(n+2))

Теперь мы можем рассмотреть сумму каждого из этих членов по отдельности. Сумма от 1/2n и 1/2(n+2) будет сходиться, а сумма от -1/(n+1) будет давать нам последовательность, которая также сходится.

В результате, если мы сложим все члены, то получим конечное значение для суммы ряда:

Сумма ряда равна 1/4.