Каково значение суммы
1/2024^3 + 2/2024^4 + 3/2024^5 + 4/2024^6 + ...?

Алгебра Колледж Суммы бесконечного ряда значение суммы алгебра 12 дроби последовательности математические выражения Новый

Для решения данной задачи нам нужно найти сумму ряда:

1/2024^3 + 2/2024^4 + 3/2024^5 + 4/2024^6 + ...

Мы можем заметить, что это бесконечный ряд, где каждый член имеет вид:

n/2024^(n+2),

где n начинается с 1 и идет до бесконечности. Теперь мы можем записать этот ряд в более компактной форме:

Сумма = Σ(n=1 до бесконечности) n/2024^(n+2).

Теперь, чтобы упростить эту сумму, мы можем вынести общий множитель 1/2024^2 за знак суммы:

Сумма = (1/2024^2) * Σ(n=1 до бесконечности) n/2024^n.

Теперь нам нужно рассмотреть сумму Σ(n=1 до бесконечности) n/2024^n. Эта сумма имеет известную формулу. Мы можем использовать производную от геометрической прогрессии.

Сначала вспомним, что сумма геометрической прогрессии:

Σ(n=0 до бесконечности) x^n = 1/(1-x) при |x| < 1.

Теперь, если мы продифференцируем обе стороны по x, мы получим:

Σ(n=1 до бесконечности) n*x^(n-1) = 1/(1-x)^2.

Умножив обе стороны на x, получаем:

Σ(n=1 до бесконечности) n*x^n = x/(1-x)^2.

Теперь подставим x = 1/2024:

Σ(n=1 до бесконечности) n*(1/2024)^n = (1/2024)/(1 - 1/2024)^2.

Теперь упростим правую часть:

1 - 1/2024 = 2023/2024, и его квадрат будет (2023/2024)^2 = 2023^2/2024^2.

Таким образом, мы имеем:

Σ(n=1 до бесконечности) n*(1/2024)^n = (1/2024) / (2023^2 / 2024^2) = 2024 / 2023^2.

Теперь подставим это значение обратно в нашу сумму:

Сумма = (1/2024^2) * (2024 / 2023^2) = 1 / 2023^2.

Итак, окончательный ответ:

Сумма = 1 / 2023^2.