Чтобы найти интервал для выражения (3x² + 2x - 5)dx, нам необходимо сначала рассмотреть само выражение 3x² + 2x - 5. Мы будем искать его корни, чтобы определить, где оно принимает положительные и отрицательные значения.

1. Находим корни квадратного уравнения: Для этого используем дискриминант. Уравнение имеет вид:
• a = 3
• b = 2
• c = -5
2. Дискриминант (D) вычисляется по формуле D = b² - 4ac:
• D = 2² - 4 * 3 * (-5) = 4 + 60 = 64
3. Находим корни уравнения: Корни находятся по формуле x = (-b ± √D) / (2a):
• x₁ = (-2 + √64) / (2 * 3) = (-2 + 8) / 6 = 6 / 6 = 1
• x₂ = (-2 - √64) / (2 * 3) = (-2 - 8) / 6 = -10 / 6 = -5/3
4. Теперь определим знаки функции: Мы знаем, что квадратный трёхчлен может менять знак только в точках его корней. Поэтому проверим знаки на интервалах:
• Интервал (-∞, -5/3): выбираем, например, x = -2:
• 3(-2)² + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3 (положительное)
• Интервал (-5/3, 1): выбираем, например, x = 0:
• 3(0)² + 2(0) - 5 = -5 (отрицательное)
• Интервал (1, +∞): выбираем, например, x = 2:
• 3(2)² + 2(2) - 5 = 12 + 4 - 5 = 11 (положительное)
5. Итак, знаки функции:
• На интервале (-∞, -5/3) функция положительна.
• На интервале (-5/3, 1) функция отрицательна.
• На интервале (1, +∞) функция положительна.
6. Итог: Выражение (3x² + 2x - 5) будет положительным на интервалах (-∞, -5/3) и (1, +∞), и отрицательным на интервале (-5/3, 1).

Таким образом, интервал для выражения (3x² + 2x - 5)dx, где оно положительно, будет (-∞, -5/3) ∪ (1, +∞).