Чтобы найти производную функции Y = ln^5(x^2 + 5^(-x)), мы будем использовать правила дифференцирования, включая правило цепочки и производную логарифмической функции.

Шаги решения:

1. Определим функцию: У нас есть функция Y, которая равна ln^5(u), где u = x^2 + 5^(-x).
2. Найдем производную Y по u: Используя правило цепочки, производная Y по u будет равна:
• Y' = 5 * ln^4(u) * (1/u) * du/dx
3. Теперь найдем производную u: u = x^2 + 5^(-x). Для этого мы найдем производные каждого из членов:
• Производная x^2 равна 2x.
• Производная 5^(-x) равна -5^(-x) * ln(5) (по правилу производной экспоненты).
4. Таким образом, du/dx = 2x - 5^(-x) * ln(5).
5. Подставим найденные производные обратно в формулу:
• Y' = 5 * ln^4(u) * (1/u) * (2x - 5^(-x) * ln(5)).
6. Теперь подставим u обратно: u = x^2 + 5^(-x).
• Y' = 5 * ln^4(x^2 + 5^(-x)) * (1/(x^2 + 5^(-x))) * (2x - 5^(-x) * ln(5)).

Итак, окончательная форма производной Y будет:

Y' = 5 * ln^4(x^2 + 5^(-x)) * (2x - 5^(-x) * ln(5)) / (x^2 + 5^(-x)).

Таким образом, мы нашли производную функции Y = ln^5(x^2 + 5^(-x)).