Пусть:

f(x) = {

• sqrt(x^6 - 3x^3 + 2) - sqrt(x^6 - x^3 + 3), при x ≤ 0
• sqrt(x^6 + 3x^4 + 2) / (x^2 + 2x), при x > 0

(а) Найти вертикальные асимптоты графика функции y = f(x), если они есть. Обосновать свой ответ.

(б) Найти горизонтальные асимптоты графика функции y = f(x), если они есть. Обосновать свой ответ.

(в) Найти наклонные асимптоты графика функции y = f(x), если они есть. Обосновать свой ответ.

Алгебра Колледж Асимптоты графика функции Асимптоты функции вертикальные асимптоты горизонтальные асимптоты наклонные асимптоты график функции алгебра 12 класс анализ функции свойства функций пределы функции решение задачи по алгебре Новый

Ответ: Вертикальная асимптота присутствует в точке x = 0, горизонтальная асимптота — y = 1, а наклонной асимптоты нет.

Объяснение:

Для начала, давайте определим область определения функции f(x). Она состоит из двух частей: первая часть определена при x ≤ 0, а вторая — при x > 0. Мы начнем с поиска вертикальных асимптот.

Вертикальные асимптоты:

• Чтобы найти вертикальные асимптоты, нужно определить, где функция не определена или стремится к бесконечности. В данном случае, это происходит при x = 0, так как вторая часть функции (при x > 0) имеет знаменатель, который равен нулю, когда x = 0.
• При x → 0 с положительной стороны (x > 0) функция f(x) стремится к бесконечности:
  lim (x→0⁺) f(x) = ∞.
• Таким образом, в точке x = 0 у нас есть вертикальная асимптота.

Горизонтальные асимптоты:

• Теперь найдем горизонтальные асимптоты, исследуя пределы функции при x → ±∞.
• Первый предел:
  lim (x→-∞) f(x) = lim (x→-∞) (sqrt(x^6 - 3x^3 + 2) - sqrt(x^6 - x^3 + 3).
  При x → -∞, мы можем упростить выражение:
  sqrt(x^6) - sqrt(x^6) = 0, и остальные члены становятся незначительными.
  Таким образом, lim (x→-∞) f(x) = 0.
• Второй предел:
  lim (x→∞) f(x) = lim (x→∞) (sqrt(x^6 + 3x^4 + 2) / (x^2 + 2x).
  При x → ∞, числитель и знаменатель можно упростить:
  sqrt(x^6) / (x^2) = x^3 / x^2 = x.
  Таким образом, lim (x→∞) f(x) = ∞.
• Следовательно, у нас есть горизонтальная асимптота y = 1, так как функция стремится к 1 при x → -∞.

Наклонные асимптоты:

• Теперь проверим наличие наклонных асимптот. Для этого нужно исследовать поведение функции при x → ±∞.
• При x → ∞, мы видим, что функция f(x) стремится к бесконечности быстрее, чем линейные функции. Поэтому наклонной асимптоты нет.

Таким образом, мы пришли к выводу, что:

• Вертикальная асимптота: x = 0.
• Горизонтальная асимптота: y = 1.
• Наклонной асимптоты нет.