Ответ: Вертикальная асимптота присутствует в точке x = 0, горизонтальная асимптота — y = 1, а наклонной асимптоты нет.

Объяснение:

Для начала, давайте определим область определения функции f(x). Она состоит из двух частей: первая часть определена при x ≤ 0, а вторая — при x > 0. Мы начнем с поиска вертикальных асимптот.

Вертикальные асимптоты:

• Чтобы найти вертикальные асимптоты, нужно определить, где функция не определена или стремится к бесконечности. В данном случае, это происходит при x = 0, так как вторая часть функции (при x > 0) имеет знаменатель, который равен нулю, когда x = 0.
• При x → 0 с положительной стороны (x > 0) функция f(x) стремится к бесконечности:
  lim (x→0⁺) f(x) = ∞.
• Таким образом, в точке x = 0 у нас есть вертикальная асимптота.

Горизонтальные асимптоты:

• Теперь найдем горизонтальные асимптоты, исследуя пределы функции при x → ±∞.
• Первый предел:
  lim (x→-∞) f(x) = lim (x→-∞) (sqrt(x^6 - 3x^3 + 2) - sqrt(x^6 - x^3 + 3).
  При x → -∞, мы можем упростить выражение:
  sqrt(x^6) - sqrt(x^6) = 0, и остальные члены становятся незначительными.
  Таким образом, lim (x→-∞) f(x) = 0.
• Второй предел:
  lim (x→∞) f(x) = lim (x→∞) (sqrt(x^6 + 3x^4 + 2) / (x^2 + 2x).
  При x → ∞, числитель и знаменатель можно упростить:
  sqrt(x^6) / (x^2) = x^3 / x^2 = x.
  Таким образом, lim (x→∞) f(x) = ∞.
• Следовательно, у нас есть горизонтальная асимптота y = 1, так как функция стремится к 1 при x → -∞.

Наклонные асимптоты:

• Теперь проверим наличие наклонных асимптот. Для этого нужно исследовать поведение функции при x → ±∞.
• При x → ∞, мы видим, что функция f(x) стремится к бесконечности быстрее, чем линейные функции. Поэтому наклонной асимптоты нет.

Таким образом, мы пришли к выводу, что:

• Вертикальная асимптота: x = 0.
• Горизонтальная асимптота: y = 1.
• Наклонной асимптоты нет.