В группе из 12 студентов, среди которых 8 отличников, случайным образом отобраны 9 студентов. Какова вероятность того, что среди отобранных студентов окажется 5 отличников и 4 студента без отличия?

Алгебра Колледж Комбинаторика и теория вероятностей вероятность студенты отличники алгебра комбинаторика задача группа отбор 12 студентов 9 студентов 5 отличников 4 студента без отличия Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для вычисления вероятности события, которая основана на комбинаторике. Нам нужно найти вероятность того, что среди 9 случайно отобранных студентов окажется 5 отличников и 4 студента без отличия.

Шаг 1: Определим общее количество способов выбрать 9 студентов из 12.

Общее количество способов выбрать 9 студентов из 12 можно вычислить с помощью биномиального коэффициента:

C(12, 9) = 12! / (9! * (12 - 9)!) = 12! / (9! * 3!) = (12 * 11 * 10) / (3 * 2 * 1) = 220.

Шаг 2: Определим количество способов выбрать 5 отличников из 8.

Количество способов выбрать 5 отличников из 8 также можно вычислить с помощью биномиального коэффициента:

C(8, 5) = 8! / (5! * (8 - 5)!) = 8! / (5! * 3!) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56.

Шаг 3: Определим количество способов выбрать 4 студента без отличия из 4.

Поскольку в группе 12 студентов, из которых 8 отличников, значит, 4 студента без отличия. Количество способов выбрать 4 студента без отличия из 4:

C(4, 4) = 4! / (4! * (4 - 4)!) = 1.

Шаг 4: Вычислим общее количество способов выбрать 5 отличников и 4 студента без отличия.

Теперь мы можем умножить количество способов выбора отличников на количество способов выбора студентов без отличия:

Общее количество способов = C(8, 5) * C(4, 4) = 56 * 1 = 56.

Шаг 5: Вычислим вероятность.

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что среди отобранных студентов окажется 5 отличников и 4 студента без отличия:

Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов) = 56 / 220.

Шаг 6: Упростим дробь.

Теперь упростим дробь 56 / 220:

56 и 220 имеют общий делитель 4:

56 / 4 = 14, 220 / 4 = 55.

Таким образом, вероятность = 14 / 55.

Ответ: Вероятность того, что среди отобранных студентов окажется 5 отличников и 4 студента без отличия, равна 14/55.