В кубе MNPQM1N1P1Q1 определите, какие ребра параллельны плоскости M1N1P1 и какие ребра перпендикулярны плоскости QPP1. Также, прямоугольник со сторонами 10 см и 8 см вращается вокруг диагонали. Каков объём полученного тела?

Алгебра Колледж Геометрия в пространстве алгебра куб MNPQM1N1P1Q1 ребра параллельны плоскости ребра перпендикулярны плоскости Объём тела вращения прямоугольник 10 см 8 см диагональ прямоугольника задачи по алгебре геометрия объемы тел вращения Новый

Давайте сначала разберемся с кубом MNPQM1N1P1Q1.

1. Определение параллельных и перпендикулярных ребер:

Куб имеет 12 рёбер, которые можно разделить на 3 группы по 4 ребра, и каждая группа соответствует одной из трех координатных осей (x, y, z).

• Рёбра, параллельные плоскости M1N1P1:
• Плоскость M1N1P1 проходит через точки M1, N1 и P1, и она параллельна основанию куба.
• Следовательно, рёбра, которые параллельны этой плоскости, будут находиться в вертикальном положении и не будут пересекаться с плоскостью M1N1P1.
• Это рёбра MN, MP и PQ, а также их аналоги на верхней грани куба: M1N1, M1P1 и P1Q1.
• Рёбра, перпендикулярные плоскости QPP1:
• Плоскость QPP1 проходит через точки Q, P и P1.
• Рёбра, перпендикулярные этой плоскости, будут находиться в горизонтальном положении.
• Это рёбра QN, QM и P1N1, а также их аналоги на нижней грани куба: QN1, QM1 и P1Q1.

2. Объём тела, полученного при вращении прямоугольника вокруг диагонали:

Теперь перейдем к задаче о прямоугольнике со сторонами 10 см и 8 см, который вращается вокруг своей диагонали.

Сначала найдем длину диагонали прямоугольника:

• Длина диагонали D = √(10^2 + 8^2) = √(100 + 64) = √164 = 2√41 см.

Когда прямоугольник вращается вокруг своей диагонали, он образует тело, которое можно представить как два конуса, объединённые по основанию.

Для нахождения объёма тела, полученного при вращении, используем формулу объёма конуса:

• V = (1/3) * π * R^2 * h,
• где R — радиус основания конуса, h — высота.

В нашем случае высота h будет равна длине диагонали, а радиус R можно найти, используя соотношение между сторонами прямоугольника и диагональю:

• R = (1/2) * D = (1/2) * 2√41 = √41 см.

Теперь подставим значения в формулу:

• V = (1/3) * π * (√41)^2 * (2√41) = (1/3) * π * 41 * 2√41 = (82/3) * π * √41 см³.

Таким образом, объём тела, полученного при вращении прямоугольника, равен (82/3) * π * √41 см³.