Для того чтобы показать расходимость данных интегралов, мы будем использовать критерий Коши, который позволяет оценить поведение интегралов на бесконечности и в нуле.

1. Интеграл ∫1+∞ sin(ln x) dx

Рассмотрим данный интеграл. Для начала, заметим, что функция sin(ln x) колеблется между -1 и 1. Это значит, что мы можем использовать критерий Коши для оценки поведения интеграла.

1. Пусть t - это произвольное положительное число, тогда мы можем рассмотреть интеграл от 1 до t:
2. Интеграл ∫1^t sin(ln x) dx не имеет определенного значения, так как sin(ln x) колеблется.
3. Теперь, рассмотрим предел, когда t стремится к бесконечности:
4. Функция sin(ln x) будет колебаться, и ее среднее значение на интервале [1, t] не будет стремиться к нулю. Это означает, что интеграл не сходится к какому-либо конечному значению.

Таким образом, интеграл ∫1+∞ sin(ln x) dx расходится.

2. Интеграл ∫0+∞ x sin x dx

Теперь рассмотрим второй интеграл. Мы также можем использовать критерий Коши для анализа этого интеграла.

1. Разделим интеграл на два части: ∫0^1 x sin x dx и ∫1+∞ x sin x dx.
2. Для первой части ∫0^1 x sin x dx, мы можем оценить, что x sin x является непрерывной функцией и интеграл от 0 до 1 будет конечным.
3. Теперь рассмотрим вторую часть ∫1+∞ x sin x dx. Здесь мы можем заметить, что x sin x также колеблется, но в то же время x стремится к бесконечности.
4. Используем критерий Коши: для больших x, sin x колеблется между -1 и 1. Таким образом, мы можем оценить интеграл как:
• ∫1+∞ x sin x dx ≈ ∫1+∞ x dx, что расходится.

Таким образом, интеграл ∫0+∞ x sin x dx также расходится.

В заключение, оба интеграла ∫1+∞ sin(ln x) dx и ∫0+∞ x sin x dx расходятся, что мы и показали, используя критерий Коши.