Для нахождения производной функции u=f(x, y, z) в точке A(1, 0, 1) по направлению вектора AB, нам необходимо выполнить несколько шагов.

Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

• AB = B - A = (2 - 1, 1 - 0, 0 - 1) = (1, 1, -1).

Градиент функции u, обозначаемый как ∇u, представляет собой вектор, состоящий из частных производных функции по каждому из переменных x, y и z:

• ∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z).

Давайте найдем каждую из частных производных:

1. ∂u/∂x = (1/(1 + xyz)) * (yz) + e^(xy) * (y * sin(x/z - 1) + xy * cos(x/z - 1) * (-1/z))
2. ∂u/∂y = (1/(1 + xyz)) * (xz) + e^(xy) * (x * sin(x/z - 1))
3. ∂u/∂z = (1/(1 + xyz)) * (xy) + e^(xy) * (x * cos(x/z - 1) * (-x/z^2))

Теперь подставим x=1, y=0, z=1 в каждую из частных производных:

• ∂u/∂x в A = (1/(1 + 0)) * (0 * 1) + e^(0) * (0 * sin(1 - 1) + 1 * 0 * cos(1 - 1) * (-1)) = 0.
• ∂u/∂y в A = (1/(1 + 0)) * (1) + e^(0) * (1 * sin(1 - 1)) = 1 + 0 = 1.
• ∂u/∂z в A = (1/(1 + 0)) * (0) + e^(0) * (1 * cos(1 - 1) * (-1)) = 0 - 1 = -1.

Таким образом, градиент функции в точке A равен:

∇u(A) = (0, 1, -1).

Для получения направления максимальной производной мы должны нормализовать вектор AB:

• Длина вектора AB = √(1^2 + 1^2 + (-1)^2) = √3.
• Нормализованный вектор = (1/√3, 1/√3, -1/√3).

Направление максимальной производной определяется по формуле:

Максимальная производная = ∇u(A) • (нормализованный вектор AB).

Вычисляем скалярное произведение:

• ∇u(A) • (нормализованный вектор AB) = (0, 1, -1) • (1/√3, 1/√3, -1/√3) = 0 * (1/√3) + 1 * (1/√3) + (-1) * (-1/√3) = 1/√3 + 1/√3 = 2/√3.

Таким образом, максимальная производная функции u в точке A по направлению вектора AB равна 2/√3.

Максимальная производная функции u в точке A(1, 0, 1) по направлению вектора AB равна 2/√3. Вектор направления максимальной производной: (1/√3, 1/√3, -1/√3).