Похожие вопросы
2025-08-25 21:44:47
31. Вычислите интеграл: ∫ (x / √(3 + x²)) dx.
Варианты ответов:
- A) 4√(3 + x²) + C
- B) 2√(3 + x²) + C
- C) (1/2)√(3 + x³) + C
- D) √(3 + x²) + C
Алгебра Университет Интегралы интеграл вычисление интеграла алгебра интегралы математика интегрирование √(3 + x²) интеграл от x учебные задачи алгебраические выражения Новый
2025-08-26 05:56:33
Для вычисления интеграла ∫ (x / √(3 + x²)) dx, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги решения:
- Выбор подстановки: Мы заметим, что в знаменателе у нас есть выражение √(3 + x²). Поэтому разумно сделать подстановку, которая упростит это выражение. Пусть:
- u = 3 + x²
- Найдём производную u: Теперь найдем производную u по x:
- du/dx = 2x
- Выразим dx через du: Из этого уравнения мы можем выразить dx:
- dx = du / (2x)
- Подставим u и dx в интеграл: Теперь подставим u и dx в наш интеграл:
- ∫ (x / √(3 + x²)) dx = ∫ (x / √u) * (du / (2x))
- Упростим интеграл: Мы видим, что x в числителе и x в знаменателе сокращаются:
- ∫ (1 / (2√u)) du
- Выполним интегрирование: Теперь мы можем интегрировать:
- ∫ (1 / (2√u)) du = (1/2) * 2√u + C = √u + C
- Вернёмся к переменной x: Теперь подставим обратно u = 3 + x²:
- √(3 + x²) + C
Таким образом, окончательный ответ для интеграла ∫ (x / √(3 + x²)) dx равен:
√(3 + x²) + CСледовательно, правильный ответ - вариант D) √(3 + x²) + C.
