2025-11-02 05:26:45
4. Общий член последовательности задан формулой
a_n = 1/n + 1/(n+1) + ... + 1/(5n)
Докажите, что эта последовательность сходится и найдите ее предел.
Алгебра Университет Сходимость последовательностей алгебра последовательность предел сходящаяся последовательность доказательство предела Новый
2025-11-02 05:27:04
Чтобы доказать, что последовательность, заданная формулой a_n = 1/n + 1/(n+1) + ... + 1/(5n), сходится, начнем с анализа ее общего члена.
Мы можем переписать a_n как сумму:
- a_n = Σ (1/k), где k принимает значения от n до 5n.
Теперь давайте определим, сколько членов в этой сумме. Количество членов от n до 5n равно:
- 5n - n + 1 = 4n + 1.
Теперь мы можем оценить сумму:
- Сумма 1/k для k от n до 5n можно оценить с помощью интеграла, так как функция 1/x убывает.
- Мы можем использовать неравенство:
- ∫(1/x) dx от n до 5n для оценки суммы.
Вычислим этот интеграл:
- ∫(1/x) dx = ln(x).
- Таким образом, получаем:
- ln(5n) - ln(n) = ln(5).
Следовательно, сумма 1/n + 1/(n+1) + ... + 1/(5n) приближенно равна ln(5) при больших n.
Теперь вернемся к a_n:
- a_n ≈ ln(5) + O(1/n).
Когда n стремится к бесконечности, O(1/n) стремится к нулю. Таким образом, предел последовательности a_n равен:
- lim (n→∞) a_n = ln(5).
Итак, мы доказали, что последовательность сходится, и ее предел равен ln(5).