Уравнения Навье-Стокса описывают движение вязкой несжимаемой жидкости и представляют собой систему нелинейных частных дифференциальных уравнений. Проблема существования и гладкости решений для этих уравнений в трехмерном пространстве является одной из самых известных и сложных задач в математике. Данная проблема относится к классу так называемых "проблем Миллениума". Вот основные шаги и идеи, которые могут быть использованы для доказательства или опровержения наличия решений:

1. Формулировка задачи:
   • Уравнения Навье-Стокса имеют вид:

     ∂u/∂t + (u·∇)u = -∇p + νΔu + f

     ∇·u = 0

     где u - вектор скорости, p - давление, ν - кинематическая вязкость, f - внешние силы.

   • Задача заключается в доказательстве существования решений u и p, которые являются гладкими (то есть имеют непрерывные производные до некоторого порядка) на заданном интервале времени.
2. Анализ существующих методов:
   • Использование методов функционального анализа, таких как теорема о существовании и единственности решений для эллиптических и параболических уравнений.
   • Применение теории обобщенных функций и слабых решений для анализа поведения решений в сложных ситуациях.
   • Исследование свойств потоков векторных полей и использование теорем о непрерывности и регулярности.
3. Гладкость решений:
   • Необходимо показать, что если решение существует, то оно является гладким. Это может потребовать анализа производных и применения результатов о регулярности решений для нелинейных уравнений.
   • Использование методов оценки норм и энергии для контроля поведения решений.
4. Проблемы и сложности:
   • Нелинейность уравнений создает сложности в применении стандартных методов.
   • Существуют примеры, показывающие, что даже для простых начальных условий решения могут вести себя крайне неустойчиво.
5. Современные исследования:
   • Научные исследования продолжаются, и многие математики работают над этой проблемой, используя как аналитические, так и численные методы.
   • Некоторые результаты показывают существование решений в ограниченных областях, но глобальные результаты остаются недоказанными.

Таким образом, для доказательства или опровержения существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса требуется глубокий анализ и использование различных математических методов. На данный момент, эта проблема остается открытой и является одной из важнейших в математической физике.