Для начала разберем первую часть вашего вопроса, касающуюся линейной независимости и компланарности векторов.

Определения:

• Компланарные векторы: Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Это означает, что можно выразить один из векторов как линейную комбинацию других.
• Линейная зависимость: Векторы линейно зависимы, если существует ненулевое сочетание этих векторов, равное нулю. Иначе, если единственное сочетание, равное нулю, - это тривиальное (все коэффициенты равны нулю), то векторы линейно независимы.
• Линейная независимость: Система векторов линейно независима, если ни один из векторов не может быть представлен как линейная комбинация остальных.

Доказательство:

1. Предположим, что у нас есть три вектора: A, B и C.
2. Если эти векторы не компланарны, это означает, что они не лежат в одной плоскости. В таком случае, никакой вектор не может быть представлен как линейная комбинация двух других.
3. Таким образом, если мы попробуем выразить один из векторов через линейную комбинацию других, это приведет к противоречию, так как векторы не компланарны.
4. Следовательно, векторы A, B и C являются линейно независимыми, так как не существует ненулевого сочетания, равного нулю, кроме тривиального.

Теперь перейдем ко второй части вашего вопроса о замкнутости множества в топологическом пространстве.

Определение:

• Замкнутое множество: Множество A в топологическом пространстве называется замкнутым, если его комплементарное множество (то есть множество всех точек, не принадлежащих A) является открытым.
• Точка прикосновения: Точка x называется точкой прикосновения множества A, если в любой окрестности точки x есть хотя бы одна точка из A, отличная от x.

Доказательство:

1. Предположим, что множество A замкнуто.
2. По определению замкнутого множества, все предельные точки множества A должны принадлежать A. Предельные точки - это точки, в любой окрестности которых есть точки из A.
3. Если x является точкой прикосновения к A, это означает, что в любой окрестности точки x находятся точки из A, следовательно, x является предельной точкой A.
4. Так как A замкнуто, то x должна принадлежать A, что и доказывает, что A содержит все свои точки прикосновения.

Таким образом, мы использовали определения компланарности, линейной зависимости и независимости для доказательства линейной независимости векторов, а также показали, что замкнутость множества A подразумевает наличие всех его точек прикосновения в самом множестве.