Чтобы исследовать функции на равномерную непрерывность, мы будем использовать определение равномерной непрерывности и некоторые теоремы, которые помогут нам в этом процессе.

Определение равномерной непрерывности: Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве D, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любых x1, x2 из D, если |x1 - x2| < δ, то |f(x1) - f(x2)| < ε.

Теперь рассмотрим каждую из указанных функций по отдельности.

а) f(x) = sin(x) / x, где x принадлежит интервалу (0; π):

• Функция f(x) непрерывна на (0; π), так как синус и деление на x не создают проблем в этой области.
• Для исследования равномерной непрерывности мы можем воспользоваться теоремой о равномерной непрерывности на компактных множествах. Заметим, что (0; π) не является замкнутым и ограниченным множеством, но мы можем рассмотреть его сжатие.
• Функция f(x) имеет предел при x стремящемся к 0: lim (x -> 0) f(x) = 1. Таким образом, мы можем дополнить область определения, добавив точку x = 0, и рассмотреть функцию на [0; π].
• На этом отрезке функция будет равномерно непрерывной, так как она непрерывна и ограничена.

б) f(x) = e^x cos(1/x), где x принадлежит интервалу (0; 1):

• Функция f(x) определена на (0; 1) и имеет поведение, зависящее от cos(1/x), который колеблется. Это может вызвать проблемы с непрерывностью.
• Тем не менее, e^x является непрерывной и ограниченной на [0; 1]. Однако, cos(1/x) не имеет предела при x стремящемся к 0.
• Таким образом, f(x) не является равномерно непрерывной на (0; 1), так как колебания cos(1/x) не позволяют удовлетворить условию равномерной непрерывности.

в) f(x) = x sin(x), где x принадлежит отрезку [0; +∞):

• Функция f(x) непрерывна на [0; +∞), так как произведение непрерывных функций (x и sin(x)) также является непрерывным.
• Чтобы проверить равномерную непрерывность, мы можем использовать теорему о равномерной непрерывности на неограниченных интервалах. Заметим, что f(x) растет не быстрее, чем x, так как |sin(x)| ≤ 1.
• Для любого ε > 0 можно выбрать δ, чтобы |x1 - x2| < δ приводило к |f(x1) - f(x2)| < ε, особенно на ограниченных интервалах. Однако, на [0; +∞) функция не имеет предела, поэтому необходимо проверить поведение на бесконечности.
• Тем не менее, x sin(x) не будет иметь колебаний, которые нарушают равномерную непрерывность, так как f(x) будет ограничена для больших x. Таким образом, f(x) будет равномерно непрерывной на [0; +∞).

В заключение:

• а) f(x) = sin(x) / x равномерно непрерывна на (0; π).
• б) f(x) = e^x cos(1/x) не является равномерно непрерывной на (0; 1).
• в) f(x) = x sin(x) является равномерно непрерывной на [0; +∞).