Чтобы найти интеграл Г 4x(1 + 41lnx)² dx, используя замену u = 1 + 4lnx, давайте пройдемся по шагам.

1. Сначала сделаем замену переменной: Пусть u = 1 + 4lnx. Теперь нам нужно выразить dx через du.
2. Находим производную: Для этого найдем производную u по x:
   • du/dx = 4/x
3. Теперь выразим dx:
   • dx = (x/4) du
4. Теперь найдем x через u: Из уравнения u = 1 + 4lnx выразим lnx:
   • 4lnx = u - 1
   • lnx = (u - 1)/4
   • x = e^((u - 1)/4)
5. Теперь подставим x в dx:
   • dx = (e^((u - 1)/4)/4) du
6. Теперь подставим все в интеграл: Интеграл теперь будет выглядеть так:
   • Г 4 * e^((u - 1)/4) * u² * (e^((u - 1)/4)/4) du
   • = Г (4/4) * e^((u - 1)/2) * u² du
   • = Г e^((u - 1)/2) * u² du
7. Теперь интегрируем: Интеграл e^((u - 1)/2) * u² du может быть решен по частям или с помощью таблиц интегралов.
8. Не забудьте вернуть переменную x: После нахождения интеграла, подставьте обратно u = 1 + 4lnx, чтобы получить ответ в исходных переменных.

Таким образом, используя замену переменной, мы упростили интеграл и можем продолжить его вычисление. Если у вас есть вопросы на каком-то этапе, не стесняйтесь задавать их!