Как можно решить дифференциальное уравнение первого порядка, представленное в виде ydy - xydx = 0?

Алгебра Университет Дифференциальные уравнения первого порядка решение дифференциального уравнения уравнение первого порядка алгебра методы решения математический анализ Новый

Чтобы решить дифференциальное уравнение первого порядка, представленное в виде ydy - xydx = 0, давайте сначала упростим его. Мы можем переписать уравнение следующим образом:

ydy = xydx

Теперь разделим переменные, чтобы упростить уравнение:

ydy / y = xdx

После сокращения y (при условии, что y не равен нулю), мы получаем:

dy = xdx

Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:

1. Интегрируем левую сторону:
• ∫dy = y + C1
2. Интегрируем правую сторону:
• ∫xdx = (1/2)x^2 + C2

Теперь у нас есть:

y = (1/2)x^2 + C

где C = C2 - C1 — произвольная константа интегрирования.

Таким образом, общее решение нашего дифференциального уравнения имеет вид:

y = (1/2)x^2 + C

Это решение описывает семейство парабол, где C — это произвольная константа, определяющая конкретный член этой семьи.