Как можно решить дифференциальное уравнение y' = cos²(6y) / (x - 3)?

Алгебра Университет Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения дифференциальное уравнение y' cos²(6y) метод решения алгебра задачи по алгебре математические уравнения математический анализ Новый

Для решения данного дифференциального уравнения мы можем использовать метод разделения переменных. Давайте разберем шаги более подробно.

1. Запишем уравнение:

   y' = cos²(6y) / (x - 3)

2. Перепишем производную:

   y' можно записать как dy/dx, тогда уравнение примет вид:

   dy/dx = cos²(6y) / (x - 3)

3. Разделим переменные:

   Мы можем разделить переменные, чтобы все члены, содержащие y, были с одной стороны, а все члены, содержащие x, с другой:

   dy / cos²(6y) = dx / (x - 3)

4. Интегрируем обе стороны:

   Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:

   • Левая сторона:

     ∫ (1 / cos²(6y)) dy = ∫ sec²(6y) dy

     Интеграл sec²(6y) равен (1/6) * tan(6y) + C₁, где C₁ - произвольная константа.

   • Правая сторона:

     ∫ (1 / (x - 3)) dx = ln|x - 3| + C₂, где C₂ - другая произвольная константа.

5. Запишем результат интегрирования:

   После интегрирования мы получаем:

   (1/6) * tan(6y) = ln|x - 3| + C

   где C = C₂ - C₁ - это новая произвольная константа.

6. Решим уравнение относительно y:

   Теперь, чтобы выразить y, умножим обе стороны на 6:

   tan(6y) = 6 * (ln|x - 3| + C)

   Теперь мы можем выразить y:

   6y = arctan(6 * (ln|x - 3| + C))

   y = (1/6) * arctan(6 * (ln|x - 3| + C))

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = (1/6) * arctan(6 * (ln|x - 3| + C))

Где C - произвольная константа, которую можно определить, если заданы начальные условия.