2025-10-25 02:29:59
Как можно решить следующие задачи по алгебре:
- Методом интегрирования по частям найдите интеграл ∫ (15x + 3) sin 4x dx.
- Вычислите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y = x², x = 1, y = 0.
Алгебра Университет Интегралы и объемы вращения алгебра интегрирование по частям интеграл Объём тела вращение вокруг оси криволинейная трапеция задачи по алгебре вычисление объёма функции математические задачи
2025-10-25 02:30:16
Давайте решим обе задачи по алгебре поэтапно.
Задача 1: Найдите интеграл ∫ (15x + 3) sin 4x dx методом интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям основан на формуле:
- ∫ u dv = u v - ∫ v du
Для начала выберем:
- u = 15x + 3, тогда du = 15 dx
- dv = sin 4x dx, тогда v = -1/4 cos 4x (интегрируем sin 4x)
Теперь подставим все в формулу интегрирования по частям:
- ∫ (15x + 3) sin 4x dx = (15x + 3)(-1/4 cos 4x) - ∫ (-1/4 cos 4x)(15) dx
Упрощаем это:
- = -(15/4)x cos 4x - (3/4) cos 4x + (15/4) ∫ cos 4x dx
Теперь вычислим ∫ cos 4x dx:
- ∫ cos 4x dx = (1/4) sin 4x
Подставляем это обратно:
- = -(15/4)x cos 4x - (3/4) cos 4x + (15/4)(1/4) sin 4x + C
Где C - произвольная константа интегрирования. Таким образом, конечный ответ будет:
- -(15/4)x cos 4x - (3/4) cos 4x + (15/16) sin 4x + C
Задача 2: Вычислите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y = x², x = 1, y = 0.
Для вычисления объема тела вращения применим метод дисков. Формула объема V будет выглядеть так:
- V = π ∫ [f(x)]² dx
В нашем случае f(x) = x², и пределы интегрирования от 0 до 1 (так как x = 1 и y = 0).
Теперь подставим это в формулу:
- V = π ∫ (x²)² dx от 0 до 1
- V = π ∫ x^4 dx от 0 до 1
Теперь вычислим интеграл:
- ∫ x^4 dx = (1/5)x^5
Подставляем пределы интегрирования:
- V = π [(1/5)(1)^5 - (1/5)(0)^5]
- V = π (1/5 - 0) = π/5
Таким образом, объем тела, полученного при вращении, равен:
- V = π/5
Итак, мы нашли ответ на обе задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!