Как можно вычислить частные производные z’’хх, z‘‘yy, z‘‘xy для функции z = e^2x cos 3y?

Алгебра Университет Частные производные функций нескольких переменных частные производные z e^2x cos 3y вычисление производных алгебра математика функции z''xx z''yy z''xy Новый

Чтобы вычислить частные производные второго порядка функции z = e^(2x) * cos(3y), нам нужно сначала найти первые частные производные, а затем использовать их для нахождения производных второго порядка. Давайте разберем это по шагам.

Шаг 1: Найдем первую частную производную z по x.

Для этого мы будем использовать правило произведения. Функция z состоит из двух частей: e^(2x) и cos(3y).

• Первая часть: производная e^(2x) по x равна 2e^(2x) (по правилу дифференцирования экспоненты).
• Вторая часть: cos(3y) по x является константой, поэтому производная равна 0.

Таким образом, первая частная производная z по x:

z’x = 2e^(2x) * cos(3y).

Шаг 2: Найдем первую частную производную z по y.

Теперь найдем производную функции z по y.

• Первая часть: e^(2x) по y является константой, поэтому производная равна 0.
• Вторая часть: производная cos(3y) по y равна -3sin(3y) (по правилу дифференцирования косинуса).

Таким образом, первая частная производная z по y:

z’y = -3e^(2x) * sin(3y).

Шаг 3: Найдем вторые частные производные.

Теперь мы можем найти вторые частные производные:

Частная производная z по x дважды (z’’xx):

• Мы берем производную z’x по x:
• z’x = 2e^(2x) * cos(3y).
• Применяем правило произведения: производная 2e^(2x) по x равна 4e^(2x), а cos(3y) остается константой.

Таким образом,:

z’’xx = 4e^(2x) * cos(3y).

Частная производная z по y дважды (z’’yy):

• Мы берем производную z’y по y:
• z’y = -3e^(2x) * sin(3y).
• Применяем правило произведения: производная -3e^(2x) по y равна -9cos(3y) (производная sin(3y) по y равна 3cos(3y)).

Таким образом,:

z’’yy = -9e^(2x) * cos(3y).

Частная производная z по x и y (z’’xy):

• Мы берем производную z’x по y:
• z’x = 2e^(2x) * cos(3y).
• Здесь e^(2x) является константой, а производная cos(3y) по y равна -3sin(3y).

Таким образом,:

z’’xy = -6e^(2x) * sin(3y).

В итоге, мы нашли следующие частные производные второго порядка:

• z’’xx = 4e^(2x) * cos(3y)
• z’’yy = -9e^(2x) * cos(3y)
• z’’xy = -6e^(2x) * sin(3y)