Как найти неопределённые интегралы по следующим функциям:

1. ∫(arccos²x/√(1-x²))dx
2. ∫cos3x×cosxdx
3. ∫(4x+1)e^3xdx
4. ∫x/((x²-1)(x+6))dx

Решите каждую задачу пошагово.

Алгебра Университет Неопределённые интегралы неопределенные интегралы интегрирование функции алгебра шаги решения математические задачи arccos²x cos3x e^3x x/(x²-1)(x+6) Новый

Давайте разберем каждый из данных интегралов по очереди, подробно объясняя шаги решения.

1. Интеграл ∫(arccos²x/√(1-x²))dx

1. Для решения этого интеграла воспользуемся заменой переменной. Пусть u = arccos(x). Тогда x = cos(u) и dx = -sin(u) du.
2. Также, заметим, что √(1 - x²) = √(1 - cos²(u)) = sin(u).
3. Подставим все в интеграл: ∫(u²/sin(u))(-sin(u) du) = -∫u² du.
4. Теперь интегрируем: -∫u² du = -((u³)/3) + C = -(arccos³(x)/3) + C.

Ответ: -(arccos³(x)/3) + C

2. Интеграл ∫cos(3x)cos(x)dx

1. Для решения данного интеграла используем формулу произведения косинусов: cos(a)cos(b) = (1/2)(cos(a-b) + cos(a+b)).
2. В нашем случае: cos(3x)cos(x) = (1/2)(cos(3x - x) + cos(3x + x)) = (1/2)(cos(2x) + cos(4x)).
3. Теперь интегрируем: ∫(1/2)(cos(2x) + cos(4x))dx = (1/2)(∫cos(2x)dx + ∫cos(4x)dx).
4. Интеграл от cos(kx) равен (1/k)sin(kx), поэтому: (1/2)((1/2)sin(2x) + (1/4)sin(4x)) + C = (1/4)sin(2x) + (1/8)sin(4x) + C.

Ответ: (1/4)sin(2x) + (1/8)sin(4x) + C

3. Интеграл ∫(4x+1)e^(3x)dx

1. Для решения этого интеграла используем метод интегрирования по частям. Пусть u = 4x + 1, тогда du = 4dx, и dx = du/4.
2. Также, dv = e^(3x)dx, тогда v = (1/3)e^(3x).
3. Теперь применяем формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.
4. Подставляем: ∫(4x + 1)e^(3x)dx = (4x + 1)(1/3)e^(3x) - ∫(1/3)e^(3x)(4/4)dx.
5. Упрощаем: =(4x + 1)(1/3)e^(3x) - (1/3)(1/3)e^(3x) + C = (4x + 1)(1/3)e^(3x) - (1/9)e^(3x) + C.

Ответ: (4x + 1)(1/3)e^(3x) - (1/9)e^(3x) + C

4. Интеграл ∫x/((x²-1)(x+6))dx

1. Для решения этого интеграла используем метод разложения на простейшие дроби. Запишем дробь в виде: A/(x-1) + B/(x+1) + C/(x+6) .
2. Умножим обе стороны на (x²-1)(x+6) и соберем все в одно уравнение: x = A(x+1)(x+6) + B(x-1)(x+6) + C(x²-1).
3. Решаем это уравнение, подбирая значения для A, B и C, а затем подставляем найденные значения обратно в дробь.
4. После разложения интегрируем каждую из простейших дробей: ∫(A/(x-1))dx + ∫(B/(x+1))dx + ∫(C/(x+6))dx.
5. Каждый из этих интегралов имеет вид ln|x - a| + C, где a - соответствующий корень. После интегрирования подставляем обратно значения A, B и C.

Ответ: ln|x-1| + ln|x+1| + ln|x+6| + C (последний ответ будет зависеть от найденных A, B и C)

Таким образом, мы рассмотрели все предложенные интегралы и подробно объяснили шаги их решения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!